Raiz quadrada(2)

Calcular manualmente a raiz quadrada de um número não inteiro, como 2,5, pode ser feito usando diferentes métodos, mas um dos mais comuns é o método de aproximação por tentativas ou o método de Newton-Raphson. Vou te mostrar como usar o método de Newton-Raphson, que é um método iterativo eficaz para encontrar a raiz quadrada de um número.

Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é um método iterativo que pode ser usado para encontrar aproximações de raízes de funções. Para encontrar a raiz quadrada de $x$, você pode usar a função $f(y)=y^2-x$. Queremos encontrar um valor de $y$ tal que $f(y)=0$.

1. Defina a função e a derivada:
   $f(y)=y^2-x$

1. Fórmula de iteração:
   $y_{n+1}=y_n-\frac{f(y_n)}{f^{\prime }(y_n)}$

Para a função $f(y)=y^2-2.5$, a fórmula se torna:
$y_{n+1}=y_n-\frac{y_n^2-2.5}{2y_n}$

1. Escolha um valor inicial $y_0$: Vamos começar com $y_0=1.5$ porque é uma aproximação razoável.

2. Realize as iterações:

Iteração 1:
$$y_1=\frac{1.5+\frac{2.5}{1.5}}{2}=\frac{1.5+1.6667}{2}=1.5833$$

Iteração 2:
$$y_2=\frac{1.5833+\frac{2.5}{1.5833}}{2}=\frac{1.5833+1.5790}{2}=1.5812$$

Iteração 3:
$$y_3=\frac{1.5812+\frac{2.5}{1.5812}}{2}=\frac{1.5812+1.5811}{2}=1.5811$$

(Continue iterando até atingir a precisão desejada.)

Verificação

Para verificar a precisão do valor obtido, podemos elevar o resultado ao quadrado para ver quão próximo está de 2,5. Com $y_3=1.5811$:

Esse valor é muito próximo de 2,5, indicando que a raiz quadrada de 2,5 é aproximadamente $1.5811$.

Conclusão

Usando o método de Newton-Raphson, encontramos que a raiz quadrada de 2,5 é aproximadamente $1.5811$. Esse método é iterativo e se aproxima rapidamente da solução exata. Você pode continuar as iterações até alcançar o nível de precisão desejado.