Raiz quadrada(2)

Calcular manualmente a raiz quadrada de um número não inteiro, como 2,5, pode ser feito usando diferentes métodos, mas um dos mais comuns é o método de aproximação por tentativas ou o método de Newton-Raphson. Vou te mostrar como usar o método de Newton-Raphson, que é um método iterativo eficaz para encontrar a raiz quadrada de um número.

Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é um método iterativo que pode ser usado para encontrar aproximações de raízes de funções. Para encontrar a raiz quadrada de $x$, você pode usar a função $f(y)=y^2-x$. Queremos encontrar um valor de $y$ tal que $f(y)=0$.

1. Defina a função e a derivada:
   $f(y)=y^2-x$

1. Fórmula de iteração:
   $y_{n+1}=y_n-\frac{f(y_n)}{f^{\prime }(y_n)}$

Para a função $f(y)=y^2-2.5$, a fórmula se torna:
$y_{n+1}=y_n-\frac{y_n^2-2.5}{2y_n}$

1. Escolha um valor inicial $y_0$: Vamos começar com $y_0=1.5$ porque é uma aproximação razoável.

2. Realize as iterações:

Iteração 1:
$$y_1=\frac{1.5+\frac{2.5}{1.5}}{2}=\frac{1.5+1.6667}{2}=1.5833$$

Iteração 2:
$$y_2=\frac{1.5833+\frac{2.5}{1.5833}}{2}=\frac{1.5833+1.5790}{2}=1.5812$$

Iteração 3:
$$y_3=\frac{1.5812+\frac{2.5}{1.5812}}{2}=\frac{1.5812+1.5811}{2}=1.5811$$

(Continue iterando até atingir a precisão desejada.)

Verificação

Para verificar a precisão do valor obtido, podemos elevar o resultado ao quadrado para ver quão próximo está de 2,5. Com $y_3=1.5811$:

Esse valor é muito próximo de 2,5, indicando que a raiz quadrada de 2,5 é aproximadamente $1.5811$.

Conclusão

Usando o método de Newton-Raphson, encontramos que a raiz quadrada de 2,5 é aproximadamente $1.5811$. Esse método é iterativo e se aproxima rapidamente da solução exata. Você pode continuar as iterações até alcançar o nível de precisão desejado.

Você vai utilizar o chamado método de Newton. A IA gerou uma resposta aí explicando como funciona, mas eu acho que consigo te explicar de uma maneira mais fácil. Você começa dando um chute inicial para a raiz. Como e , tanto 1 quanto 2 são bons chutes iniciais. Se quisermos dar um chute inicial um pouco melhor, podemos também utilizar 1,5. Para não complicar muito, eu vou usar 2 como chute inicial. Então a sua raiz vai ser esse chute mais um erro que a gente vai chamar de :

Agora tu eleva tudo ao quadrado:

Se o seu chute inicial tiver sido bom, esse erro deve ser bem pequeno, então deve ser menor ainda, quando comparado com as outras parcelas do lado direito. Então trabalhando na aproximação em que ele possa ser desprezado, a gente tem:

Então a nossa estimativa para a raiz de 2,5 é

Se você elevar esse número ao quadrado, dá em torno de 2,64, ou seja, já está bem melhor que o nosso chute inicial 2, cujo quadrado dá 4, mas pode melhorar mais ainda. Agora a gente faz o método todo de novo, só que usando 1,625 como chute inicial. Vamos lá:

Portanto, nossa nova estimativa para a raiz de 2,5 é:

Se você elevar esse número ao quadrado, já vê que dá consideravelmente mais próximo de 2,5. Aí dependendo da precisão desejada, você pode parar por aqui, ou fazer mais iterações do método de Newton, para obter melhores aproximações.

Espero que tenha gostado da técnica.