Relação de equivalência

Uma importante relação existente no conjunto Z é a relação de congruência. Dizemos que dois números inteiros x e y são congruentes módulo m ( m > 0), quando a diferença x - y for um múltiplo de m, ou seja, k E Z existe tal que x - y = km . Escrevemos: x = y (mod m). Mostre que essa relação é uma relação de equivalência, ou seja:

x = x (mod m) (reflexividade);
Se x = y (mod m) , então y = x (mod m) (simetria);
Se x = y (mod m) e y = z (mod m), então x = z (mod m) (transitividade)

Benedito C.
Benedito
perguntou há 3 semanas

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Professor Allysson A.
Respondeu há 3 semanas
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(1) Mostremos que é reflexiva:
Seja x E Z, tem-se que x - x = 0 e assim, existe k=0 E Z tal que x - x = 0.m e portanto x = x(mod m)

(2) Mostremos que é simétrica:
Seja x = y(mod m), pela definição de congruência, tem-se:

x - y = k.m, com k E Z

Agora, note que x - y = k.m => y - x = (-k).m sendo -k E Z, portanto, y=x(mod m)

(3) Mostremos que é transitiva:
Seja x = y(mod m) e y = z(mod m), pela definição de congruência temos:

x - y = m.k com k E Z (relação 1)
e
y - z = m.h com h E Z (relação 2)

Da relação 1, segue que:
y = x - m.k

Agora, substituímos o valor de y encontrado, na relação 2:
(x - m.k) - z = m.h => x - z = m.(h + k)

Como h e k são ambos inteiros, a soma h + k também será um número inteiro, logo x=z(mod m).

Assim, por (1), (2) e (3), podemos afirmar que é uma relação de equivalência.

Espero ter ajudado.

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