Considere a relaçao S sobre R definida da seguinte forma;
xSy se, e somente se,x-y pertence a Q
a) Prove que S é uma relação de equivalencia.
b) Descreva a classe representada por 1/2.
Olá Taiane, boa tarde. Antes de resolver sua dúvida, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação S é uma relação de equivalência sobre um conjunto não vazio A se, e somente se:
(i) R é reflexiva, ou seja, para todo x em A temos xSx.
(ii) R é simétrica, ou seja, se para x,y em A com xSy então ySx.
(iii) R é transitiva, ou seja, se para x,y,z em A com xSy e ySz então xSz.
Agora vamos à sua dúvida.
Para mostrar que a relação S dada no enunciado é uma relação de equivalência sobre R, temos que mostrar que S satisfaz a três propriedades acima. Vejamos:
(a) (i) Reflexiva: Para todo x em R temos xSx pois x-x=0 que pertence a Q.
(ii) Simétrica: Considere x,y em R tal que xSy. Se isso acontece, segue que x-y pertence a Q. Se x-y pertence temos que -(x-y) também pertence a Q, isto é, y-x pertence a Q. Logo ySx.
(iii) Transitiva: Considere x,y,z em Q tais que xSy e ySz. Disso segue que x-y pertence a Q e y-z pertence a Q. Como a soma de quaisquer números racionais é um número racional, temos que (x-y)+(y-z) pertence a Q, isto é, x-z pertence a Q. Portanto xSz.
(b) Observe que 1/2S0, ou seja, 1/2 está relacionado com 0, pois 1/2-0 pertence a Q. Desse modo as classes de 1/2 e 0 são iguais. A classe de 0 é formada por todo x em R tal que x-0 pertece a Q, ou seja, por todo x que está em Q. Por outro lado, todo x em Q está relaciona com o 0 pois x-0 pertence a Q. Logo a classe de 0 é o próprio Q e, como a classe de 1/2 é igual à classe do 0, seque que a classe de 1/2 é Q.
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