Relações trigonométricas

Olá Gustavu, tudo certo?

Como sua questão ficou com uma edição um pouco confusa, farei apenas o que é possível. Simplificarei o valor de M. Lembre-se que sec(x) = 1/cos(x) e cossec(x) = 1/sin(x). Assim, temos o seguinte:

M = [cossec(x) + cos(x)] / [sec(x) + sin(x)] = [1/sin(x) + cos(x)] / [1/cos(x) + sin(x)] 

Agora, vamos escrever cos(x) como cos(x).sin(x)/sin(x), apenas para poder realizar a soma: 1/sin(x) + cos(x) = 1/sin(x) + cos(x).sin(x)/sin(x) =(1+ cos(x).sin(x))/sin(x). Utilizando a mesma técnica, podemos escrever 1/cos(x) + sin(x) = 1/cos(x) + sin(x).cos(x)/cos(x) = (1 + sin(x).cos(x))/cos(x). Dessa forma, voltando com essas somas na expressao de M, ficamos com:

M = [ (1 + cos(x).sin(x))/sin(x) ] / [ (1 + sin(x).cos(x))/cos(x) ] = 

= [(1+cos(x).sin(x))/sin(x)] . [cos(x)/(1 + sin(x).cos(x)]

Note que o termo 1 + cos(x).sin(x) pode ser simplificado, assim, obtemos:

M = cos(x)/sin(x) = cotg(x).

Mas cotg(x) = 1/tg(x). Do que foi dado, temos que tg²(x) = 1/9, ou seja, tg(x) = 1/3 ou -1/3. Ou seja, podemos ter M = 1/(1/3) = 3 ou M = 1/(-1/3) = -3.

Espero ter ajuadado.