Resolução de questão de estruturas algébricas

Para provar que um grupo G é abeliano, precisamos mostrar que a operação binária do grupo é comutativa, ou seja, a ordem dos elementos não altera o resultado da operação.

A propriedade dada é: Se para elementos quaisquer a, b e c em G, temos que a * b = c * a, então b = c.

Vamos usar essa propriedade para mostrar que G é abeliano:

Seja a e b elementos quaisquer em G. Queremos provar que a * b = b * a.

Usando a propriedade dada, temos que:

a * b = (b * a) * a.

Agora, multiplique ambos os lados por "b" à direita:

a * b * b = (b * a) * a * b.

Novamente, usando a propriedade dada, temos que b = (b * a) * a.

Agora, multiplique ambos os lados por "(b * a)^(-1)" à direita (o inverso de (b * a) no grupo G):

b * (b * a)^(-1) = ((b * a) * a) * (b * a)^(-1).

Usando a propriedade de que b = (b * a) * a, substituímos na equação acima:

b * (b * a)^(-1) = (b * a) * (b * a)^(-1).

Agora, multiplique ambos os lados por "a" à direita:

b * (b * a)^(-1) * a = (b * a) * (b * a)^(-1) * a.

E novamente, usando a propriedade de que b = (b * a) * a:

b * (b * a)^(-1) * a = b * (b * a)^(-1) * a.

Agora, como estamos trabalhando com um grupo, podemos cancelar o termo "b * (b * a)^(-1)" de ambos os lados:

a = a.

Isso mostra que para quaisquer elementos a e b em G, a * b = b * a. Portanto, G é um grupo abeliano (comutativo).

Bons estudos!

Um grupo é abeliano (ou comutativo) se, para todo x e y em G, a operação x*y é igual a y*x. Vamos provar que G é abeliano, com base na propriedade que foi dada: para qualquer x, y, z em G, se x*y=z*x, então y=z.

1) Para qualquer elemento x em G, x*e = e*x. 
   Isso é verdade porque e é o elemento neutro do grupo, e portanto x*e = x = e*x.

2) Para todo x em G, se x*y = y*x, então y = x.
   Isso decorre diretamente da propriedade dada.

Combinando 1) e 2), para qualquer x e y em G, temos x*y = y*x. Isso mostra que G é abeliano.

Por fim, vale ressaltar que a propriedade dada é bastante forte e não é satisfeita por muitos grupos. De fato, ela é equivalente à condição de que o grupo seja abeliano.