Para resolver a equação ((N+1)! = 12 (N-1)!), vamos usar a definição do fatorial para simplificar a expressão.
Sabemos que:
Substituindo isso na equação, temos:
Se (o que é verdade para ), podemos dividir ambos os lados da equação por ((N-1)!):
Agora, podemos expandir:
Essa é uma equação quadrática, e podemos usar a fórmula quadrática:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Agora substituímos na fórmula:
Isso nos dá duas soluções: 1. 2.
Como estamos lidando com fatoriais e queremos que seja um número inteiro não negativo (pois não estamos aceitando fatoriais de números negativos nessa situação), a única solução válida é:
Portanto, a solução da equação é:
n+2)! /n! = 12
(n+2) * (n+1) * n!
------------------------ = 12
n!
basta cortar o n! e teremos (lembre-se que podemos fazer isso pois é uma multiplicação, se fosse uma soma a regra não poderia ser aplicada)
Temos que :
(n+2) * (n+1) = 12
utilizando a propriedade distributiva (n * n + n * 1 + 2 * n + 2 * 1, temos
n² + n + 2n + 2 = 12
n² + 3n+2-12 = 0
n²+3n-10 = 0
calculando o delta temos:
b² -4ac =
3² - 4 * 1 * (-10) =
9 + 40 = 49
n = -b +- raiz delta/ 2a
n' = -3 + 7 / 2 * 1 = 4/ 2 = 2
n'' = -3 - 7/ 2 * 1 = -10/2 = -5
Portanto, n' = 2 e n'' = -5
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