Resolva o sistema

Sistema de equações 3x3

a. x + 2y + 3z = 16

b. 2x - 3y + z = 5

c. 3x + y - 2z = - 1

A ideia é eliminar uma incógnita e ficarmos com um sistema de equações 2x2

Se multiplicarmos a equação "c" por 3, observe:

9x + 3y - 6z = -3

Passo 02

Agora podemos somar a equação que multiplicamos por 3 com a equação "b"

     9x + 3y - 6z = -3

(+) 2x - 3y + z = 5

      11x - 5z = 2

Passo 03

Utilizamos as equações "b" e "c" para chegarmos na primeira equação com 2 incógnitas

Faremos o mesmo processo, mas utilizando a equação "a" com qualquer uma das outras duas

Se multiplicarmos a equação "c" por -2, observe:

-6x - 2y + 4z = 2

Agora podemos somar a equação que multiplicamos por -2 com a equação "a"

    -6x - 2y + 4z = 2

(+) x + 2y + 3z = 16

     -5x + 7z = 18

Passo 04

Sistema encontrado 2x2

11x - 5z = 2

-5x + 7z = 18

Chegando no sistema 2x2, para resolvermos podemos usar o método da soma ou da substituição

Escolhendo a equação isolamos uma incógnita e substituímos na outra, vamos isolar o "x"

11x - 5z = 2

Isolando o "x"

x = (5z + 2)

          11

Agora na outra equação substituímos o "x" pelo valor que encontramos (resultado acima)

-5x + 7z = 18

-5(5z + 2) + 7z = 18

      11

Como temos duas frações com denominadores diferentes, tiramos o MMC e calculamos

MMC (11, 1) = 11

-5(5z + 2) + 77z = 18

           11

Resolvendo a equação temos

-5(5z + 2) + 77z = 198

-25z - 10 + 77z = 198

-25z + 77z = 198 + 10

52z = 208

z = 4

Encontramos o "z = 4", para encontrar as outras duas podemos substituir o "z" em qualquer uma delas

Passo 05

Voltando no sistema 2x2, escolhemos uma equação e substituímos o "z"

11x - 5z = 2

Substituindo o "z"

11x - 5(4) = 2

11x - 20 = 2

11x = 22

x = 2

Encontramos o "x = 2", para encontrar a última incógnita podemos substituir o "x" em qualquer uma delas

Passo 06

x + 2y + 3z = 16

Vamos usar a primeira equação e substituir

2 + 2y + 3(4) = 16

2 + 2y + 12 = 16

2y = 16 - 12 - 2

2y = 2

y = 1

Logo, nosso conjunto solução será: S = { x , y , z } = { 2 , 1 , 4 }

Esta etapa não é obrigatória, apenas vamos verificar se nosso conjunto solução está correto

Basta pegarmos as 3 equações originais e substituir cada valor encontrado, se a equação for VERDADEIRA então nosso conjunto solução está correto

a. x + 2y + 3z = 16

b. 2x - 3y + z = 5

c. 3x + y - 2z = - 1

Substituindo cada incógnita pelo valor encontrado temos:

a. 2 + 2.1 + 3.4 = 16

a. 2 + 2 + 12 = 16

a. 16 = 16

b. 2.2 - 3.1 + 4 = 5

b. 4 - 3 + 4 = 5

b. 5 = 5

c. 3.2 + 1 - 2.4 = - 1

c. 6 + 1 - 8 = -1

c. -1 = -1

Primeiro, temos esse sistema de equações:

1. $X+2Y+3Z=16$
2. $2X?3Y+Z=5$
3. $3X+Y?2Z=?1$

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da substituição ou o método da eliminação. Vamos usar o método da substituição, que é um pouquinho mais simples.

Passo 1: Isolar uma variável em uma das equações.

Vamos começar pela equação 1. Podemos isolar $X$:

$X=16?2Y?3Z$

Passo 2: Substituir o valor isolado em outras equações.

Agora, vamos substituir $X$ nas equações 2 e 3.

Para a equação 2:

$2(16?2Y?3Z)?3Y+Z=5$

Para a equação 3:

$3(16?2Y?3Z)+Y?2Z=?1$

Passo 3: Resolver as equações resultantes para encontrar os valores das outras variáveis.

Vamos resolver essas equações passo a passo.

Para a equação 2:

$32?4Y?6Z?3Y+Z=5$

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

$32?4Y?3Y+Z?6Z=5$

$?7Y?5Z=5?32$

$?7Y?5Z=?27$

Agora, para a equação 3:

$48?6Y?9Z+Y?2Z=?1$

Vamos juntar os termos semelhantes:

$48?6Y+Y?9Z?2Z=?1$

$?5Y?11Z=?1?48$

$?5Y?11Z=?49$

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

1. $?7Y?5Z=?27$
2. $?5Y?11Z=?49$

Passo 4: Resolver esse novo sistema de equações.

Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição novamente. Vamos isolar uma variável e substituir nas equações.

Vamos isolar $Y$ na primeira equação:

$?7Y=?27+5Z$

????=?27+5?????7Y=?7?27+5Z?

Vamos substituir $Y$ na segunda equação:

?5(?27+5?????7)?11????=?49?5(?7?27+5Z?)?11Z=?49

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de $Z$.

Quando resolvermos essa equação para $Z$, podemos voltar e usar os valores encontrados para $Z$ para encontrar os valores de $Y$ e, em seguida, de $X$.

Daí, continuando... 

?5(?7?27+5Z?)?11Z=?49

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:

?5(?27+5?????7)=5(?27+5????)?7=?135+25?????7?5(?7?27+5Z?)=?75(?27+5Z)?=?7?135+25Z?

Agora, vamos substituir essa expressão na equação:

?135+25?????7?11????=?49?7?135+25Z??11Z=?49

Para simplificar mais, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $?7$ para eliminar o denominador:

$?135+25Z+77Z=343$

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

$25Z+77Z=343+135$

$102Z=478$

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por $102$ para encontrar o valor de $Z$:

????=478102?4.686Z=102478??4.686

Agora que encontramos o valor de $Z$, podemos usar esse valor para encontrar os valores de $Y$ e $X$.

Vamos voltar à equação em que isolamos $Y$ em termos de $Z$:

????=?27+5?????7Y=?7?27+5Z?

Substituindo $Z$ pelo valor que encontramos ($Z?4.686$):

????=?27+5(4.686)?7Y=?7?27+5(4.686)?

Agora, podemos calcular $Y$:

????=?27+23.43?7??3.57?7?0.509Y=?7?27+23.43???7?3.57??0.509

Agora que temos $Y$, podemos encontrar $X$. Vamos usar a equação que isolamos $X$ em termos de $Y$ e $Z$:

$X=16?2Y?3Z$

Substituindo $Y$ e $Z$ pelos valores que encontramos:

$X=16?2(0.509)?3(4.686)$

Agora, podemos calcular $X$:

$X=16?1.018?14.058?0.924$

Então, os valores aproximados das variáveis são:

$X?0.924$ $Y?0.509$ $Z?4.686$

1)

colocando as 3 equações uma debaixo da outra:

I) X + 2Y + 3Z = 16

II) 2X - 3Y + Z = 5

III) 3X + Y - 2Z  = -1

2) 

multiplique as equações de modo que a variável x tenha o mesmo coeficiente, nosso objetivo é trabalhar com menos variáveis:

I) --> I) * 6 --> 6X + 12Y + 18Z = 96

II) --> II) * 3 --> 6X - 9Y + 3Z = 15

III) --> III) * 2 --> 6X +2Y - 4Z = -2

3)

Faça I) - II), teremos: IV) 21Y + 15Z = 81, simplificando, 7Y + 5Z = 27

Faça  I) - III), teremos: V) 10Y + 22Z = 98, simplificando, 5Y + 11Z = 49

4) fazendo o mesmo raciocinio no passo 2), teremos que deixar Y das duas eq. com os mesmos coeficientes.

IV * 5 --> 35Y + 25Z = 135

V * 7 --> 35Y + 77Z = 343

finalmente, faça V) - IV) --.> 52Z = 208 --> Z = 4

5) Substitua Z em IV) --> 35Y + 25.4 = 135 --> 35Y + 100 = 135 --> 35Y = 35 --> Y = 1

6) Substitua Z e Y em I), que nem o enunciado: X + 2*1 + 3*4 = 16 --> X + 2 + 12 = 16

X + 14 = 16 --> X = 2

Espero ter ajudado!

Larissa,

Após as formas bem detalhadas que os outros professores fizeram, só me resta tentar entender a operação que precisa fazer todas as vezes para resolver questões como essa:

Pensa assim: Preciso deixar "isolado"/"sozinho" cada uma das letras por pelo menos uma vez...pra isso....começa a "jogar" todo mundo para um lado do sinal de "=" igual...

Assim, você acha o valor de cada letra...ah! mais da primeira vez que fizer o "isolamento" de cada variável vai ter duas letras do outro lado da igualdade...não se preocupa...continua isolando...depois, o trabalho é pegar os valores que vai encontrato e substituindo nas primeiras continhas que fez...

Espero ter ajudado.

Bom dia Larissa.

Qual a sua dúvida?

Como o próprio nome da sessão diz, este espaço é para tirar dúvidas.