Olá, Manu!
As matrizes tem uma propriedade que se multiplicamos ela por um valor multiplicamos o determinante pelo mesmo valor elevado ao número de linhas, assim a resposta será 24.15 = 16.15 = 240. Isso ocorre pelo seguite motivo, Imagine que tenha a matriz A = {a b | c d} o seu determinante é det(A) = a.d - b.c. Agora considere a matriz 2A, seu determinante é
det(2A) = 2a.2d - 2b.2c
= 4a.d - 4b.c
= 4.(a.d - b.c) = 4.det(A) = 2².det(A).
Agora repetimos para uma matriz 3x3 A = {a b c | d e f | g h i} o determinante de 2A será
det (2A) = 2a.det({2e 2f | 2h 2i}) - 2d.det({2b 2c | 2h 2i}) + 2g.det({2b 2c | 2e 2f})
= 2.a.4.det({e f | h i}) - 2.d.4.det({b c | h i}) + 2.g.4.det({b c | e f})
= 8.a.det({e f | h i}) - 8.d.det({b c | h i}) + 8.g.det({b c | e f})
= 8.[a.det({e f | h i}) - d.det({b c | h i}) + g.det({b c | e f})] = 8.det(A)
Agora sabemos que para uma matriz 3x3 det(2A) = 8.det(A) e podemos fazer a conta para uma matriz 4x4
A = {a b c d | e f g h | i j k l | m n o p}
det(2A) = 2a.det({2f 2g 2h | 2j 2k 2l | 2n 2o 2p}) - 2e.det({2b 2c 2d | 2j 2k 2l | 2n 2o 2p})
+ 2i.det({2b 2c 2d | 2f 2g 2h | 2n 2o 2p}) - 2m.det({2b 2c 2d | 2f 2g 2h | 2j 2k 2l})
= 2a.8det({f g h | j k l | n o p}) - 2e.8.det({b c d | j k l | n o p})
+ 2i.8.det({b c d | f g h | n o p}) - 2m.8.det({b c d | f g h | j k l})
= 16a.det({f g h | j k l | n o p}) - 16e.det({b c d | j k l | n o p})
+ 16i.det({b c d | f g h | n o p}) - 16m.det({b c d | f g h | j k l})
= 16.[a.det({f g h | j k l | n o p}) - e.det({b c d | j k l | n o p})
+ i.det({b c d | f g h | n o p}) - m.det({b c d | f g h | j k l})]
= 16.det(2A)
Essas seriam as contas completas com absolutamente nenhuma simplificação, primeiro fazemos a conta para descobrir para um matriz dois por dois, com isso conseguimos fazer para 3x3 e seguindo a mesma lógica para 4x4 e assim por diante. Finalmente, se det(A) = 15, det(2A) = 16.15 = 240.
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