Resolvam pra mim! quero a resolução completa sem simplificar

Encontre o det (2A) da matriz A de ordem 4, sabendo que o detA=15

Manu O.
Manu
perguntou há 4 meses

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Professor Pedro G.
Respondeu há 4 meses

Olá, Manu!
As matrizes tem uma propriedade que se multiplicamos ela por um valor multiplicamos o determinante pelo mesmo valor elevado ao número de linhas, assim a resposta será 24.15 = 16.15 = 240. Isso ocorre pelo seguite motivo, Imagine que tenha a matriz A = {a b | c d} o seu determinante é det(A) = a.d - b.c. Agora considere a matriz 2A, seu determinante é
det(2A) = 2a.2d - 2b.2c
            = 4a.d - 4b.c
            = 4.(a.d - b.c) = 4.det(A) = 2².det(A).
Agora repetimos para uma matriz 3x3 A = {a b c | d e f | g h i} o determinante de 2A será
det (2A) = 2a.det({2e 2f | 2h 2i}) - 2d.det({2b 2c | 2h 2i}) + 2g.det({2b 2c | 2e 2f})
            = 2.a.4.det({e f | h i}) - 2.d.4.det({b c | h i}) + 2.g.4.det({b c | e f})
            = 8.a.det({e f | h i}) - 8.d.det({b c | h i}) + 8.g.det({b c | e f})
           = 8.[a.det({e f | h i}) - d.det({b c | h i}) + g.det({b c | e f})] = 8.det(A)

Agora sabemos que para uma matriz 3x3 det(2A) = 8.det(A) e podemos fazer a conta para uma matriz 4x4
A = {a b c d | e f g h | i j k l | m n o p}
det(2A) = 2a.det({2f 2g 2h | 2j 2k 2l | 2n 2o 2p}) - 2e.det({2b 2c 2d | 2j 2k 2l | 2n 2o 2p})
                + 2i.det({2b 2c 2d | 2f 2g 2h | 2n 2o 2p}) - 2m.det({2b 2c 2d | 2f 2g 2h | 2j 2k 2l})
            = 2a.8det({f g h | j k l | n o p}) - 2e.8.det({b c d | j k l | n o p})
                + 2i.8.det({b c d | f g h | n o p}) - 2m.8.det({b c d | f g h | j k l})
            = 16a.det({f g h | j k l | n o p}) - 16e.det({b c d | j k l | n o p})
                + 16i.det({b c d | f g h | n o p}) - 16m.det({b c d | f g h | j k l})
           = 16.[a.det({f g h | j k l | n o p}) - e.det({b c d | j k l | n o p})
                + i.det({b c d | f g h | n o p}) - m.det({b c d | f g h | j k l})]
           = 16.det(2A)

Essas seriam as contas completas com absolutamente nenhuma simplificação, primeiro fazemos a conta para descobrir para um matriz dois por dois, com isso conseguimos fazer para 3x3 e seguindo a mesma lógica para 4x4 e assim por diante. Finalmente, se det(A) = 15, det(2A) = 16.15 = 240.

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Professor Ewerton L.
Respondeu há 4 meses
Olá Manu. Acredito que a maneira mais fácil de resolver esse problema é usando propriedades dos determinantes. Uma dessas propriedades diz que, quando uma linha de uma matriz quadrada é multiplicada por uma constante k, seu determinante será multiplicado por k. Observe que 2A é a mesma coisa que multiplicar as 4 linhas de A por 2. Por essa propriedade que citei, cada vez que você multiplica uma linha por dois, o determinante será multiplicado por 2, como são 4 linhas, temos det(2A) = 2x2x2x2xdet(A).
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Professor Vinícius A.
Respondeu há 4 meses
Segue a explicação abaixo:

Sendo k= 2, n(ordem) = 4 e det A= 15:

det(K.A)=(K^n).detA

det(2A)=(2^4).15
det(2A)=16.15
det(2A)=240

sendo n= a ordem da matriz que nesse caso é de ordem 4.
K= a constante que multiplica "A" que nesse caso é 2.
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Professor André S.
Respondeu há 4 meses
Boa tarde Manu.

Dentre as propriedades de Matriz, temos que:

det(k · A) = k^n · det(A), em que n é a ordem da matriz quadrada.

Dessa maneira, tem-se que:

det(2A) para A sendo uma matriz de ordem 4 é dado por:

det(2A) = 2^4 · det(A) = 16 · 15 = 240.

Esse exercício já foi resolvido por outros professores. Além disso, essa forma de resolução é completa e usa propriedades de determinantes de matriz.

Atenciosamente,

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