Sabendo que pi é um plano perpendicular à reta x=2+t y=1+t z

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular à reta dada e passa pelo ponto (A = (5, -2, -3)).

A equação vetorial da reta é:

O vetor diretor da reta é (\mathbf{v} = (1, 1, 1)).

Um plano perpendicular à reta terá um vetor normal igual ao vetor diretor da reta. Assim, o vetor normal $𝐧$ ao plano $\pi$ é (\mathbf{n} = (1, 1, 1)).

A equação geral de um plano com vetor normal (\mathbf{n} = (a, b, c)) que passa pelo ponto ((x_0, y_0, z_0)) é:

Nesse caso, como ((a, b, c) = (1, 1, 1)) e ((x_0, y_0, z_0) = (5, -2, -3)), a equação do plano $\pi$ é:

Simplificando a equação do plano, obtemos:

Agora precisamos encontrar a interseção da reta $x=2+t$, $y=1+t$, $z=t$ com o plano $x+y+z=0$.

Para isso, substituímos os parâmetros da reta na equação do plano:

Simplificando, temos:

Resolvendo para $t$, obtemos:

Agora substituímos $t=-1$ nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de interseção:

Portanto, o ponto de interseção da reta com o plano é ((1, 0, -1)).