Marcela, boa tarde,
Sabemos, pelas regras do polinômio, que pode-se escreve-los em sua forma reduzida quando se conhece uma das raízes. Na forma abaixo, no caso de uma cubica:
(x- raiz disponivel)(ax²+bx+c)
No caso, ao realizar a divisão do polinomio apresentado pela equação (x-(-1)), temos
P(x)=(x+1)(3x²+6x+7).
Para encontrar p e q temos que resolver a equação de segundo grau que sobrou.
Δ= (6)²-4(3)(7)
Δ= -48
(-6+raiz(-48))/6 é uma raíz
(-6-raiz(-48))/6 será a outra.
Note que ambas são complexas, há raíz de número negativo. Mas como a pergunta é p² + q², podemos calculá-las:
(-1+4i/6√3)²+(-1-4/6i√3)=-2/3
Aqui, o que se pode fazer é encontrar p e q com base na raiz -1 já fornecida.
Faremos uma redução do polinômio de 3o grau a um polinômio de 2o grau.
Poderemos fazer a seguinte multiplicação:
E então compararmos com o polinômio fornecido. Teremos:
Encontraremos os valores de a, b e c. Usaremos esses valores para encontrar as raízes p e q faltantes.
Faz-se:
Chega-se então na seguinte forma de se escrever o polinômio P(x):
Ou ainda:
Não é necessário calcular as raízes de mas basta calcular as relações entre elas.
Quer-se calcular:
Esse valor pode ser reescrito como:
Pode-se observar no polinômio de 2o grau que multiplica (x+1):
Substituindo-se no cálculo de :
Sim, a soma de dois quadrados aqui resulta em número negativo.
Isso ocorre porque as 2 outras raízes desse polinômio serão complexas e conjugadas e, portanto, com seus respectivos quadrados menores do que zero.
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