São duas questões me ajudem a resolver passo a passo

1. Considere a matriz A= [ 1 2 / 4 1].
Calcule a matriz A ao quadrado= A×A.
Calcule a matriz A ao cubo= AxAxA ao quadrado.
Calcule a soma A+A ao quadrado +A ao cubo

2. uma pessoa tem 400 reais em cédulas de 2 reais de 5 reais e de 10 reais. Num total de 94 cedulas. Quantas cedulas ele tem de cada tipo.?

Luane A.
Luane
perguntou há 1 mês

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2 respostas
Professor Pedro G.
Respondeu há 1 mês

 


Olá, Luane
Na primeira basta fazermos a multiplicação de matrizes, por exemplo
AxA = [1.1 + 2.4 1.2 + 2.1 | 4.1 + 1.4 4.2 + 1.1]
       = [9 4 | 8 9]
Para calcularmos A ao cubo multiplicamos AxA por A novamente e obtemos
Ax(AxA) = [9.1 + 4.4 9.2 + 4.1 | 8.1 + 9.4 8.2 + 9.1]
             = [25 22 | 44 25]
Agora elevamos isso ao quadrado, ou seja, multiplicamos a matriz por ela mesma
(AxAxA)² = [25.25 + 22.44 25.22 + 22.25 | 44.25 + 25.22 44.22 + 25.25]

Vou deixar as contas para você terminar. E para acharmos A + A = 2A ao quadrado é fácil, pois
(2A)² = 4.A² = 4.AxA = 4.[9 4 | 8 9] = [36 16 | 32 36]
Agora ainda precisamos somar A e elvar tudo ao cubo, e obtemos
(4A² + A)³ = (4A² + A)(4A² + A)(4A² + A)
                = (16A4 + 8.A³ + A²)(4A² + A)
                = 64.A6 + 48.A5 + 12.A³ + A³
                = 64.(AxAxA)² + 48.(AxAxA)x(AxA) + 12.(AxAxA) + (AxAxA)
Na última linha basta substituir os valores que já calculamos e fazer as contas, só resta uma multiplicação de matrizes que é (AxAxA)x(AxA).


 


Já a segunda questão podemos montar um sistema da forma 10.x + 5.y + 2.z = 400 onde x é a quantidade de notas de 10, y as de 5 e z as de 2, assim x + y + z = 94, vamos isolar z na  segunda eqação para obtermos

x + y+ z = 94 -> z = 94 - x - y

Substituindo isso na primeira temos

10.x + 5.y + 2.z = 400
10x + 5y + 2(94 - x - y) = 400
10x + 5y + 188 - 2x - 2y = 400
8x + 3y = 400 - 188
x = (212 - 3y)/8


Agora substituimos isso na primeira equação novamente para encontrar


212 - 3y + 8y + 8z = 752


5y + 8z = 540


z = (540 - 5y)/8


isso nos diz que ambos (212 - 3y) e (540 - 5y) devem ser divisiveis por 8, pois caso contrario o número de notas não será inteiro, e para que isso ocorrá podemos analisar o resto da divisão por 8 (mod 8), o resto de 212 é 4, assim como o de 540, portanto o resto de 5y e de 3y também deve ser 4, para que a soma dos restos de 8 e portanto não tenha resto. Se olharmos a tabuada do 3 o resto da divisão por 8 é 4 em 3.4 = 12, 3.12 = 36, 3.20 = 60, já para o 5 temos os mesmos valores 5.4 = 20, 5.12 = 60, 5.20 = 100.


Poranto y deve ser um npumero do tipo 4, 12, 20, ..., 4 + 8.n, para algum n natural. Assim basta verificar em qual desses x + y + z = 94. Testamos primeiro a opção y = 4


z = (540 - 5.4)/8 = 65


x = (212 - 3.4)/8 = 25


65 + 25 + 4 = 94 e 25.10 + 4.5 + 65.2 = 250 + 20 + 130 = 400. Portanto são 25 notas de 10, 4 de 5 e 65 de 2. Porém se usamos y = 12, x = 22 e z = 60 também temos uma resposta correta, ou y = 20, x = 19, z = 55.


Não sei se entendi algo errado no enunciado ou se tem alguma informação faltando, mas me parece ter muitas respostas possíveis, sempre que aumentamos o valor de y em 8, diminuimos x em 3 e z em 5 continuaremos com uma resposta valida, pois o número de cédulas não muda já que aumentamos 8 em y e tiramos um total de 8, 5 de z e 3 de x. Além disso o valor tirado e colocado não muda, foi retirado 5.2 + 3.10 = 40, e adicionamos 8.5 = 40.

Professor Bruno D.
Respondeu há 1 mês
Questão 1:
A multiplicação de matrizes deve ser feita Linha por Coluna, isto é, gera uma nova matriz composta pelos elementos:
a11 = 1*1 + 2*4; a12 = 1*2 + 2*1; a21 = 4*1 + 1*4; a22 = 4*2 + 1*1
assim, a nova matriz AxA será composta por esses elementos. Lembre-se de que os números associados aos elementos a indicam linha e coluna nesta ordem.
Aí, a matriz fica:
AxA = [1+8 2+2] que será igual a: AxA = [9 4]
[4+4 8+1] [8 9]
Para determinar A ao cubo, podemos fazer AxAxA. Como já sabemos AxA, podemos usar o resultado e multiplicar por A.
Assim:
[9 4] x [1 2]
[8 9] [4 1]
Aí, temos outros elementos:
a11 = 9*1 + 9*4; a12 = 9*2 + 4*1; a21 = 8*1 + 8*4; a22 = 8*2 + 9*1
e depois, montamos a matriz A ao cubo:
AxAxA = [9+36 18+4] = [45 22]
[8+32 16+9] [ 40 25]

Para o restante, precisamos relembrar a soma: basta somar elemento por elemento posicionalmente, ou seja, a11 + a11; a12 + a12; a21 + a21; a22 + a22 e daí por diante.
O que o exercício quer é:
A + A² + A³ = [1 2] + [9 4] + [45 22] para isto, lembre-se: somar POSICIONALMENTE.
[4 1] [8 9] [40 25]
assi, temos:
A + A² + A³ = [1+9+45 2+4+22] = [55 28]
[4+8+40 1+9+25] [52 35]

Questão 2:
Esta questão é de Sistemas, mas podemos resolver usando matrizes também. Como não sei o que seu professor já passou, vou resolver usando matrizes pois acho que está relacionado ao 1º exercício.
1. Montando o sistema:
Sejam x as notas de 2 reais, y as de 5 reais e z as de 10.
2x + 5y + 10z = 400 <--- aqui, montamos uma equação que representa a soma das quantidades de dinheiro
x + y + z = 94 <--- usando a mesma ideia, somamos apenas as notas sem considerar seu valor

2. Associamos a uma matriz de coeficientes:
os x aqui os y aqui os z aqui resultados aqui
[ 2 5 10 | 400 ]
[ 1 1 1 | 94 ] <-- os 1 aqui indicam os coeficientes, pois, 1*x = x :)

Como essa matriz que foi gerada não é quadrada (da ordem nxn, no caso, 3x3), não dá para resolver usando matrizes.
:(
aí, deve-se resolver usando as ideias de sistema de forma convencional.

As do professor Pedro G. acima estão ótimas. Sugiro que leia. Caso tenha dúvidas, me procure. :)

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