Seja N o menor número natural múltiplo de 18, tal que N ao quadrado é um cubo perfeito. A soma dos algarismos de N é...

Olá, Deyse. Tudo bem?

Bom, se N é um natural múltiplo de 18, então N = 18m, onde m é outro natural. O truque é pensar nos fatores primos de 18 e de m, e como eles podem satisfazer a propriedade desejada (18^2 ser um cubo perfeito).

Note que 18^2 = 2^2 . 3^4.

Assim, para que (18m)^2 seja um cubo perfeito, m^2 deve conter fatores que "completem" os fatores de 18^2 de forma que [(18m)^2]^(1/3) resulte num natural.

É fácil ver, por tentativa e erro, que o o menor NATURAL que m pode ser é 3.2^2 = 12.

De fato:

(18m)² = 2^2 . 3^4 . 3^2 . 2^4 = 2^6 . 3^6 -->

[(18m)^2]^(1/3) = [2^6 . 3^6]^(1/3) = 2^2 . 3^2 = 4 . 9 = 36.

Ou seja N = 18 . m = 18 . 12 = 216. Portanto: 2 + 1 + 6 = 9.

Desculpe pela notação carregada que tive que usar.

Se alguma parte não tiver ficado clara, por favor, me avise que eu tento explicar de outra maneira.
Espero ter ajudado.
Abraço!