Para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional, precisamos determinar se elas são paralelas, coincidentes ou reversas (não paralelas e não se cruzam). A distância entre duas retas paralelas é a mesma entre qualquer ponto de uma das retas para a outra.
As retas são dadas por suas respectivas equações paramétricas:
Esta é a reta com vetor diretor (\vec{v}_R = (2, 3, -1)).
Esta é a reta com vetor diretor (\vec{v}_S = (0, 1, -1)).
Para verificar se as retas são paralelas, procuramos um múltiplo escalar para igualar e . No entanto, como e não são múltiplos escalados um do outro, as retas e não são paralelas.
Como as retas não são paralelas e não são coincidentes, são linhas reversas, e a distância entre duas retas reversas no espaço é dada pela fórmula:
Onde é o vetor ligando um ponto de a um ponto de .
Escolha o ponto em e o ponto em . Então:
Agora calcule o produto vetorial :
Calcule a magnitude do produto vetorial:
Agora calcule o produto escalar (\vec{v}_{RS} \cdot (\vec{v}_R \times \vec{v}_S)):
Então, a distância entre as retas e é:
Portanto, a distância entre as retas e é .