Sejam as retas R:x-1/2=y/3=-z e S:(x,y,z)=(-2,4,2)+t(0,1,-

Question

Sejam as retas R:x-1/2=y/3=-z e S:(x,y,z)=(-2,4,2)+t(0,1,-1  A distância entre r e s é ?

Profes A. · Accepted Answer

Para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional, precisamos determinar se elas são paralelas, coincidentes ou reversas (não paralelas e não se cruzam). A distância entre duas retas paralelas é a mesma entre qualquer ponto de uma das retas para a outra.

As retas são dadas por suas respectivas equações paramétricas:

Para a reta $R : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = - z$ , podemos escrever as equações paramétricas como:
$x = 1 + 2 t, y = 3 t, z = - t$

Esta é a reta $R$ com vetor diretor (\vec{v}_R = (2, 3, -1)).

Para a reta $S : (x, y, z) = (- 2, 4, 2) + t (0, 1, - 1)$ , podemos escrever as equações paramétricas como:
$x = - 2, y = 4 + t, z = 2 - t$

Esta é a reta $S$ com vetor diretor (\vec{v}_S = (0, 1, -1)).

Para verificar se as retas são paralelas, procuramos um múltiplo escalar para igualar ${\vec{v}}_{R}$ e ${\vec{v}}_{S}$ . No entanto, como ${\vec{v}}_{R}$ e ${\vec{v}}_{S}$ não são múltiplos escalados um do outro, as retas $R$ e $S$ não são paralelas.

Como as retas não são paralelas e não são coincidentes, são linhas reversas, e a distância entre duas retas reversas no espaço é dada pela fórmula:

d = \frac{| ({\vec{v}}_{R S} \cdot ({\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S})) |}{| {\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S} |}

Onde ${\vec{v}}_{R S}$ é o vetor ligando um ponto de $R$ a um ponto de $S$ .

Escolha o ponto $P = (1, 0, 0)$ em $R$ e o ponto $Q = (- 2, 4, 2)$ em $S$ . Então:

{\vec{v}}_{R S} = (- 2 - 1, 4 - 0, 2 - 0) = (- 3, 4, 2)

Agora calcule o produto vetorial ${\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S}$ :

{\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S} = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix} | = \hat{i} (3 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 1) - \hat{j} (2 \cdot (- 1) - 0) + \hat{k} (2 \cdot 1 - 0 \cdot 3)

= \hat{i} (- 3 + 1) - \hat{j} (- 2) + \hat{k} (2) = \hat{i} (- 2) + \hat{j} (2) + \hat{k} (2)

= (- 2, 2, 2)

Calcule a magnitude do produto vetorial:

| {\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}

Agora calcule o produto escalar (\vec{v}_{RS} \cdot (\vec{v}_R \times \vec{v}_S)):

{\vec{v}}_{R S} \cdot ({\vec{v}}_{R} \times {\vec{v}}_{S}) = (- 3, 4, 2) \cdot (- 2, 2, 2) = (- 3 \cdot - 2) + (4 \cdot 2) + (2 \cdot 2)

= 6 + 8 + 4 = 18

Então, a distância entre as retas $R$ e $S$ é:

d = \frac{| 18 |}{2 \sqrt{3}} = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3}

Portanto, a distância entre as retas $R$ e $S$ é $3 \sqrt{3}$ .

Sejam as retas R:x-1/2=y/3=-z e S:(x,y,z)=(-2,4,2)+t(0,1,-

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