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Home / Tira-dúvidas / Matemática / Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

Matemática

Como resolver essa questão pela semelhança sem uso de sistema ou funções ?


Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente



Luis R.
Luis
perguntou há 8 meses

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2 respostas
Professor Nelcimar C.
Respondeu há 8 meses
primeiro temos que achar a altura dos dois triângulos.
vamos dar nomes aos dois triângulos. O primeiro triangulo esta apoiados na parede 1.
base -> a = 2,4 m
altura -> b = ?
hipotenusa -> c = 3 m
Para encontrar o valor de "h1".usamos o teorema de Pitágoras
a²+b²=c²
- Substituindo temos:
2,4² + b² = 3²
b² = 3² - 2,4²
b² = 9 - 5,76
b = V3,24 (este V esta representando uma raiz, utilizei por falta de caracteres.)
b = 1,8 ou seja h1 = 1,8

O mesmo procedimento deve ser usado para a altura h2, referente ao triangulo apoiado na parede 2
base = a = 2,4
altura = b = ?
hipotenusa = c = 4
a² + b² = c²
- Substituindo temos:
2,4² + b² = 4²
b² = 4² - 2,4²
b² = 16 - 5,76
b² = 10,24
b = V10,24
b = 3,2 ou seja h2 = 3,2

1,8/2,4 = h/x ( este x indica a distancia entre a parede 1 a h que queremos encontrar)
usamos a regra de três e adquirimos a seguinte equação:
2,4*h - 1,8*x = 0

o mesmo procedimento utilizamos para o segundo triangulo:
3,2/2,4 = h/(2,4 - x)
3,2*(2,4 - x) = 2,4*h
2,4*h + 3,2*x = 7,68

com as duas equações monta-se um sistema (método da soma - opicional):
2,4*h - 1,8*x = 0 -2,4
2,4*h + 3,2*x = 7,68 2,4
--------------------
-5,76*h + 4,32*x = 0
5,76*h + 7,68*x = 18,432
---------------------------
12*x = 18,432
x = 18,432/12
x = 1,536

Agora é só substituir na primeira equação:
2,4*h - 1,8*x = 0
2,4*h = 1,8*1,536
h = 2,7648/2,4
h = 1,152
Professor Danilo S.
Respondeu há 8 meses
Uma outra maneira de resolver é pelas relações trigonométricas.
Seja  o ângulo entre a escada de 4 m e o chão, e seja Ê o ângulo entre a escada de 3 m e o chão.
Assim, temos:
cos  = 2,4/4 = 0,6; sen  = raiz(1 - 0,6²) = raiz(0,64) = 0,8; tan  = 0,8/0,6 = 4/3;
cos Ê = 2,4/3 = 0,8; sen Ê = raiz(1 - 0,8²) = raiz(0,36) = 0,6; tan Ê = 0,6/0,8 = 3/4;
(aqui percebemos que os ângulos são complementares, ou seja  + Ê = 90°)

Usando as tangentes que encontramos para  e Ê, e usando a relação cateto adjacente = cateto oposto/tangente, temos:
h/tan  + h/tan Ê = 2,4
h/(4/3) + h/(3/4) = 2,4
3h/4 + 4h/3 = 2,4
(9h+16h)/12 = 2,4
25h = 2,4 . 12
h = 28,8/25 = 1,152 m

Resposta: h = 1,152 m

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