Séries alternadas são aquelas em que os sinais dos termos se

Para analisar a série (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4}), vamos aplicar o Teste da Série Alternada e verificar a convergência absoluta.

A série é alternada, pois os termos variam entre positivo e negativo devido ao fator ((-1)^n).

Teste da Série Alternada (Critério de Leibniz): - A primeira condição é que os termos decresçam em módulo. Neste caso, temos $\frac{1}{n^4}$, que é uma sequência positiva e decrescente para $n\ge 1$. - A segunda condição é que a sucessão dos termos $\frac{1}{n^4}$ tende a zero conforme $n$ tende para o infinito. Isso é claramente verdadeiro, já que ${lim}_{n\to \infty }\frac{1}{n^4}=0$.

Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Critério de Leibniz, a série (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4}) é convergente.

Convergência Absoluta: Para verificar se a série é absolutamente convergente, consideramos a série dos módulos dos termos:

Essa é uma p-série com $p=4$, que converge porque $p>1$.

Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos dos seus termos também converge. Neste caso, a série é absolutamente convergente.

Com isso em mente, a resposta correta é:

Alternativa 3: A série é absolutamente convergente, logo é convergente.