Sobre o raio de um triângulo

Para encontrar o raio do círculo inscrito em um triângulo, podemos usar a fórmula da área do triângulo e o semiperímetro do triângulo (metade do perímetro). A fórmula para o raio do círculo inscrito em um triângulo é:

?

Onde:

• $r$ é o raio do círculo inscrito.
• $A$ é a área do triângulo.
• $s$ é o semiperímetro do triângulo.

Primeiro, calcule o semiperímetro ($s$) usando os lados do triângulo (a, b, e c), onde a, $b$, e $c$ são os comprimentos dos lados:

?

Neste caso, os lados do triângulo medem 5, 7 e 8, então:

A área ($A$) do triângulo pode ser calculada usando a fórmula de Heron:

?

Substituindo os valores:

?

?

Agora, podemos calcular o raio (r) do círculo inscrito:

Portanto, o raio do círculo inscrito é ? unidades.

Suponha que a gente tem um triângulo , com lados , , e (sugiro que vá desenhando para acompanhar). Agora traçamos o círculo exinscrito ao lado e chamamos de o seu centro. Perceba que a área do triângulo é igual à área do triângulo mais a área do triângulo menos a área do triângulo :

Utilizando a fórmula de Heron no lado esquerdo, onde é o semiperímetro:

As áreas do lado direito foram obtidas apenas com base vezes altura sobre dois. Note ainda que , portanto, o raio do círculo exinscrito ao lado é dado pela equação:

Por simetria, os raios dos círculos exinscritos aos lados e são, respectivamente:

A sua questão não diz qual dos três círculos cujo raio precisa ser calculado, então vou calcular os três. Para o seu triângulo, a gente tem: