Uma fábrica de chocolate inaugurada em 2010 produziu 1000 avos de páscoa nesse mesmo ano. Considerando que a sua produção aumentou 50% a cada ano em 2015 o dono da fábrica poderá dizer que em toda história da fábrica foram poduzidos quantos anos ?
Vamos calcular a produção anual da fábrica ano a ano, considerando um aumento de 50% a cada ano a partir de 2010.
Se em 2010 a fábrica produziu 1000 ovos e em 2011 produziu 50% a mais, podemos afirmar que em 2011 foram produzidos: 1000 x 1,5 = 1500
Se a cada ano vemos o mesmo crescimento, temos então uma PG crescente, em que a1 = 1000 e a2 = 1500. Para encontrar a razão q, basta dividir a2 por a1:
q = 1500
1000
q = 1,5
Contando com a páscoa de 2015, nesse ano a fábrica terá registrado a produção de 6 anos . Portanto, nossa PG terá n=6. Sabendo que a1 = 1000 e q = 1,5, temos:
Sn = a1 . 1 – qn
1 – q
S6 = 1000 . 1 – (1,5)6
1 – 1,5
S6 = 1000 . 1 – (3/2)6
– 0,5
S6 = 1000 . 1 – (729/64)6
– 0,5
S6 = 1000 . 1 – 11,390625
– 0,5
S6 = 1000 . – 10,390625
– 0,5
S6 = 1000 .20,78125
S6 = 20781,25
(arredondado para o inteiro mais próximo)
A empresa terá produzido aproximadamente 20.781 ovos de páscoa.
Os dados da questão são que em 2010 (ano de inauguração) produziu-se 1000 ovos e apartir daí a produção aumenta 50% em relação ao ano anterior.
Assim,
chamando de an o valor produzido no ano n e q a razão de aumento, tem-se que:
no ano n = 1, a1 = 1000
n = 2, a2 = 1000 + 1000x0,5 = 1000x(1+0,5) = 1000x1,5 = 1500
n = 3, a3 = 1500 + 1500x0,5 = 1500x(1+0,5) = 1500x(1,5) ou 1000x1,5x(1,5) = 1000x1,52
assim, sabendo que o primeiro termo (valor produzido no ano 1) é 1000, a razão da P.G pode ser encontrada por visualização: q = 1,5;
ou ainda fazendo o cociente (divisão) do segundo termo, n=2, pelo primeiro termo, n=1, ou seja: q = a2 / a1 = 1500 / 1000 = 1,5
Agora que temos essas informações podemos usar a fórmula que os matemáticos desenvolveram para a soma de n valores de uma P.G:
Sn = (a1*qn-a1)/(q-1)
para o ano 2010, n = 1; para 2011, n = 2; para 2012, n = 3; ...; para 2015, n = 6
agora é só aplicar na fórmula:
S6= (1000*1,56-1000)/(1,5-1) = 20781.25
Como NÃO existe 0.25 ovo de páscoa, pode-se dizer que, em toda a história da fábrica, foram produzidos 20781 ovos (...e algumas raspas hehe).
É isso! gostou?! ainda tem dúvida? quer aula desse assunto com mais detalhe ou de outros assuntos de matemática, chama! marca uma aula comigo. Obrigado e até a próxima!
Em 2010 foram produzidos 1000 ovos de páscoa.
No ano seguinte houve um aumento de 50%
Veja que temos uma sequência que obedece um padrão de crescimento, visto que, há um aumento de 50%, devemos multiplicar sempre a quantia do ano anterior por 1,50.
Sn = a1 (qn 1)
q 1
Sn = 1000 [(1,5^6) 1)]
1,5 - 1
Sn = 1000 . (11,39 - 1)
-------------------
0,5
Sn = 1000 . 10,39
---------------
0,5
Sn = 20780
Olá, tudo bem?
O ponto da questão é: qual a soma da produção de chocolate de todos os anos (desde que a fábrica começou)?
A produção aumenta 50% a cada ano, isto é, 50/100 = 1/2 = 0,5 . Esse valor será nosso q => a razão de nossa PG!
a1 = 1000
n = 2015 - 2010 = 5
Assim, é só aplicar a fórmula da soma da PG finita! Lembra dela?
S(5) = 1000 ( 0,5^5 -1) / 0,5 - 1
Lembra como resolver essa coisinha aí? A prioridade é resolver primeiro a potência!
S(5) = 1000 . (0,03125 - 1) / -0,5 = 1000. (-0,96875) / -0,5 = -968,75 / -0,5 ~ 1937,5
1937, 5 o quê??? Maçãs?
Não! A soma dos ovos de Páscoa produzidos desde que a fábrica começou em 2010 é 1937,50.
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