Soma, diferenca, produto e divisao de polinomios

Vou adotar
P(x) = 2x^3 3x^2 - 3x - 2 =P(x) = 2x³ + 3x² -3x -2
Q(x) = X^2 x - 2. = Q(x)= +x² +x -2
Se eu estiver equivocado, já peço desculpas.

Vamos lá!
Soma de P(x) + Q(x), podemos somar apenas os coeficientes com os coeficientes de mesmo expoente, lembrando que incógnita sem número a esquerda indica que o coeficiente é igual a 1 (ex: x= 1x). Separando temos (coloquei ////// apenas para mostrar que a outra função não tem elemento correspondente)
P(x) = 2x³ + 3x² -3x -2
Q(x)= ////// +x² +x -2
Resposta: P(x)+Q(x) = 2x³ +4x² -2x -4 

Diferença entre P(x) - Q(x), antes de realizar o a diferença lembra-se realizar a multiplicação do sinal
-Q(x) = - ( +x² +x -2) => -Q(x)=-x² -x +2, agora sim:
P(x) = 2x³ + 3x² -3x -2
-Q(x)= /////// -x² -x +2
RESPOSTA: P(x)-Q(x) = 2x³ +2x² -4x +0
Produto entre P(x).Q(x), para esta etapa será necessário realizar a propriedade distributiva entre os elementos.
Vale lembrar que em uma multiplicação polinomial multiplica-se os coeficientes e soma-se os expoentes com mesma base (Ex: 2x² . 3x = 6x³), caso a base diferente, conserva-se os dos valores (Ex 2x² . 3y = 6x²y).
-->Como a ordem dos fatores não altera o resultado realizarei P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x).
-->De Q(x) = +x² +x -2 ----> chamarei de 1º elemento (+x²), 2º elemento (+x) e 3º elemento (-2).
Multiplique cada elementos separadamente com todos os elementos de P(x).

>>> 1º) +x²(2x³ + 3x² -3x -2) = 2x^5 + 3x^4 -3x³ -2x²
>>> 2º) +x(2x³ + 3x² -3x -2) = 2x^4 + 3x³ -3x² -2x
>>>3º) -2(2x³ + 3x² -3x -2) = -4x³ -6x² +6x +4

Obtida a distributiva, realize a soma igual ao primeiro item deste exercício e lembre de respeitar as condições de soma:
--------> 1º) 2x^5 + 3x^4 -3x³ -2x²
--------->2º) /////////// + 2x^4 + 3x³ -3x² -2x
---------->3º) /////////// +/////////// -4x³ -6x² +6x +4

RESPOSTA: P(x) . Q(x) = 2x^5 + 5x^4 -4x³ - 11x² +4x +4

Para divisão utilizaremos o método algébrico, mas fica livre escolha para utilizar o método de Briot-Ruffini, depende muito de qual você prefere. Vale lembrar que divisão, ao contrario da multiplicação os expoente de mesma base são subtraidos e os coeficientes divididos (EX: 4x³/2x = 2x²), caso base diferente, apenas os números dividem (EX: 4x³/2y = 2x³/y)

Temos então P(x) = 2x³ + 3x² -3x -2 e Q(x)= +x² +x -2 e precisamos realizar P(x)/Q(x). Logo: ( "L" representa o simbolo de divisão neste caso)
P(x) LQ(x)
>>> 2x³ + 3x² -3x -2 L(+x² +x -2)
a primeira coisa a fazer é observar o primeiro elemento de P(x) e Q(x) e temos, respectivamente 2x³ e x², de modo geral o que precisa é deixar ambos igual logo percebemos que para isso precisamos multiplicar 2x a x² (2x . x² = 2x³) ou seja já temos o primeiro valor do resultado. Este valor de 2x, devemos multiplicar com todos os valores de Q(x) e os resultados coloca-los abaixo de P(x), lembre-se de mudar o sinal como normalmente realizamos em um divisão normal para obter o resto.

>>>>2x³ + 3x² -3x -2 L(+x² +x -2)
>>>-2x³ -2x² +4x //// 2x (AGORA EFETUE A SUBTRAÇÃO DE P(x) com os resultados de 2x(+x² +x -2))
>>> 0 +1x² +x -2

Realize o mesmo procedimento, mas agora utilizando o primeiro elemento do resto ou se +1x². como x² = 1x² a unica coisa que precisamos é multiplicar por 1. Logo:

>>>>2x³ + 3x² -3x -2 L(+x² +x -2)
//////////////////////////// 2x +1 (multiplique 1 com todos os elementos acima, e coloque o resultado para subtrair)
>>>>>>> +1x² +x -2
///////////////-x² -x +2
//////////////0 +0 + 0.

Portanto: P(x)/Q(x) = 2x +1.
Para verificar se esta correto, faça a multiplicação de 2x+1 com Q(x), o resultado deve ser igual a P(x).

Espero ter ajudado.

esta faltando o sinal entre o primeiro e o segundo termo do polinômio tanto em P(x) quanto em Q(X) supondo que o sinal seja de + em ambos polinômios SOMA DIFERENÇA P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 + Q(x) = x^2 + x - 2 - Q(x) = x^2 + x - 2 ou seja Q(x) = - x^2 - x + 2 S(x) = 2x^3 + 4x^2 -2x - 4 diferença fica: D(x) = 2x^3 + 2x^2 - 4x Tanto na soma quanto na diferença de polinômios só podemos efetuar as operações quando os monômios (termos) possuem os mesmos graus. Para que fique claro: 2x^3 se repete no resultado da soma como da diferença, pois no polinômio Q(x) não possuímos monômios de grau 3 (grau é o expoente de x). Na sequencia, temos +3x^2 em P(x) e +x^2 em Q(x), assim para a soma fica 4x^2, pois somamos os coeficientes (3+1) e na diferença, subtraímos esses mesmos coeficientes (3-1), ficando 2x^2, MULTIPLICAÇÃO Nos vamos multiplicar os coeficientes e somar os expoentes de x, pois na regra de potenciação, para bases iguais na multiplicação somamos e na divisão subtraímos os expoentes. Dessa forma: --(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) . (x^2 + x - 2) aplicamos a propriedade distributiva (famoso chuveirinho) -- 2x^3 . (x^2) + 2x^3 . (x) + 2x^3 . (- 2) + 3x^2 . (x^2) + 3x^2 . (x) + 3x^2 . (- 2) - 3x . (x^2) - 3x . (x) - 3x . (- 2) - 2 . (x^2) - 2 . (x) - 2 . (- 2) -- 2x^5 + 2x^4 - 4x^3 +3x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2x^2 - 2x + 4 Daqui para frente fazemos como na soma de polinômios, reduzindo os termos semelhantes Colocando os termos semelhantes (monômios de mesmo grau) juntos para facilitar o cálculo, temos: -- 2x^5 + 2x^4 + 3x^4 - 4x^3 + 3x^3 - 3x^3 - 6x^2 - 3x^2 - 2x^2 + 6x - 2x + 4 Basta somar que terá o resultado.... DIVISÃO Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações: • Verificar se tanto o dividendo P(x) como o divisor Q(x) está em ordem conforme as potências de x. • Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar. Feita as verificações podemos iniciar a divisão. O dividendo P(x) possui 4 monômios (termos) e o divisor Q(x) possui 3 monômios (termos). 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 | x^2 + x - 2 • Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 2x^3 : x^2 = 2x - dividimos o coeficiente e subtraímos o expoente de x • O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio x^2 + x - 2 (divisor). (x^2 + x - 2) . (2x) = 2x^3 + 2 x^2 - 4x • O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 (dividendo). 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 | x^2 + x - 2 -2x^3 - 2x^2 + 4x 2x + x^2 + x - 2 • Agora iremos levar em consideração o polinômio + x^2 + x - 2 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (x^2 + x - 2). x^2 : x^2 = 1 • O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio x^2 + x - 2 (divisor) (x^2 + x - 2) . (1) = x^2 + x - 2 • O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio + x^2 + x - 2. 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 | x^2 + x - 2 -2x^3 - 2x^2 + 4x 2x + 1 + x^2 + x - 2 - x^2 - x + 2 0 0 0 Portando, podemos dizer que (x^2 + x - 2) : (x^2 + x - 2) = 2x + 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar ( x^2 + x - 2) por 2x + 1 e verificar se a solução será 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 . Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.