Gostaria de saber como resolver esse exercício utilizando a somação por partes.. Não ficou claro para mim.
Segue o link: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n%5E2%2F3%5En%2C+n%3D1+to+infinity
Vamos lembrar a fórmula de soma por partes e de onde ela vem.
Primeiramente, sejam o operador de diferenças finitas e
, que satisfazem
e
, onde
é uma sequência qualquer de números.
Então dadas duas sequências , temos
, ou,
. (*)
Lembrando que
para uma sequência qualquer, aplicando um somatório genérico de r até s (r =< s inteiros) em (*), obtemos a fórmula de soma por partes:
.
A ideia para aplicar na soma em questão é de 'transferir' o delta para a sequência polinomial quadrática , pois assim o grau é reduzido.
Primeiro vamos aplicar na soma . Definimos as sequências de forma que
e
para todo
. Notamos que
.
Além disso, . Assim, soma por partes nos dá:
, ou
.
No caso da soma em questão, ou seja, com para todo
, temos
, de forma que a aplicação de soma por partes deixa ela em termos da soma que acabamos de calcular e da soma de progressão geométrica
, bastando então substituir os resultados adequadamente.
Obs.: Depois disso, tome no resultado.
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