Tangente

Sabemos que que tg(2.x) = [B/(A-C)] Como B = -4, A = 4 e C = 1, segue que: tg (2.x) = [-4/(4-1)] tg (2.x) = [-4/3] Sabe-se que tg(2.x) = [sen(2.x)/cos(2.x)]. Como tg(2.x) = [-4/3], então nós teremos que: [-4/3] = [sen(2.x)/cos(2.x)] sen(2.x)=(-4/3).cos(2.x) Sabemos que sen²(n.x) + cos²(n.x) = 1, para qualquer que seja n E Z, então nós teremos que: sen²(2.x) + cos²(2.x) = 1 Como sen(2.x)=(-4/3).cos(2.x), segue que: [(-4/3)*cos(2x)]² + cos²(2.x)=1 (16/9).cos²(2x) + cos²(2x)=1 cos²(2.x).[(16/9) + 1]=1 cos²(2.x).[25/9] = 1 [25/9].cos²(2.x) = 1 cos²(2.x) = [9/25] Portanto, cos(2.x) = ±?[9/25] Logo, cos(2.x) = ± [3/5] Sabe-se que cos(2.x) = 2.cos²(x) - 1. Como temos que cos(2.x) = ± [3/5]. logo, segue que: I) Para cos(2.x) = (3/5), vem que 2.cos²(x) - 1 = (3/5). Então, 2.cos²(x) = (3/5) + 1. Daí, vem que 2.cos²(x) = (8/5). Então, cos²(x) = (8/10). Logo, vem que cos²(x) = 4/5. Portanto, cos(x) = ±?[4/5]. Logo, cos(x) = ±[2/(?5)], que é equivalente a dizer que cos(x) = ±[(2.?5)/5]. Ou seja, cos(x) = [(2.?5)/5] ou cos(x) = -[(2.?5)/5] Como sen²(x) + cos²(x) = 1, então sen²(x) = 1 - cos²(x). Para cos(x) = [(2.?5)/5], teremos que sen²(x) = 1 - [(2.?5)/5]². Logo, sen²(x) = [1/5]. Portanto, sen(x) = ±[?5/5] Para cos(x) = - [(2.?5)/5], teremos que sen²(x) = 1 + [(2.?5)/5]². Logo, sen²(x) = [9/5]. Portanto, sen(x) = ±[3.?5/5] II) Para cos(2.x) = (-3/5), vem que 2.cos²(x) - 1 = (-3/5). Então, 2.cos²(x) = (-3/5) + 1. Daí, vem que 2.cos²(x) = (2/5). Então, cos²(x) = (2/10). Logo, vem que cos²(x) = 1/5. Portanto, cos(x) = ±[?5/5]. Ou seja, cos(x) = [?5/5] ou cos(x) = -[?5)/5] Como sen²(x) + cos²(x) = 1, então sen²(x) = 1 - cos²(x). Para cos(x) = [?5/5], teremos que sen²(x) = 1 - [?5/5]². Logo, sen²(x) = [4/5]. Portanto, sen(x) = ±[(2.?5)/5] Para cos(x) = - [?5/5], teremos que sen²(x) = 1 + [?5/5]². Logo, sen²(x) = [6/5]. Portanto, sen(x) = ±[?6/5] Disso tudo temos os seguintes casos: 1) Para cos(x) = [(2.?5)/5], teremos sen(x) = [?5/5] ou sen(x) = -[?5/5] 2) Para cos(x) = - [(2.?5)/5], teremos sen(x) = [3.?5/5] ou sen(x) = -[3.?5/5] 3) Para cos(x) = [?5/5], teremos sen(x) = [(2.?5)/5] ou sen(x) = -[(2.?5)/5] 4) Para cos(x) = - [?5/5], teremos sen(x) = [?6/5] ou sen(x) = -[?6/5]. Agora, observes que como tg(2.x) = [2.sen(x).cos(x)]/[cos²(x)-sen²(x)] e tg(2.x) = [-4/3], então [2.sen(x).cos(x)]/[cos²(x)-sen²(x)] = [-4/3]. Assim, vamos ver qual dos casos (1), (2), (3) e (4) sustentam a igualdade [2.sen(x).cos(x)]/[cos²(x)-sen²(x)] = [-4/3]. Temos: 1) Para cos(x) = [(2.?5)/5] e sen(x) = [?5/5], tem-se tg(2.x) = 4/3, que não satisfaz o nosso caso. Para cos(x) = [(2.?5)/5] e sen(x) = [-?5/5], tem-se que tg (2x) = -4/3, que satisfaz o nosso caso. 2) Para cos(x) = [-(2.?5)/5] e sen(x) = [3.?5/5], tem-se que tg(2.x) = 12/5, que não satisfaz o nosso caso. Para cos(x) = [-(2.?5)/5] e sen(x) = [-3.?5/5], tem-se que tg(2.x) = -12/5, que não satisfaz o nosso caso. 3) Para cos(x) = [?5/5] e sen(x) = [(2.?5)/5], segue que tg(2,x) = -4/3, que satisfaz o nosso caso. Para cos(x) = [?5/5] e sen(x) = [-(2.?5)/5], segue que tg(2.x) = 4/3, que não satisfaz o nosso caso. 4) Para cos(x) = [-?5/5] e sen(x) = [?6/5], vem que tg(2.x) = -2.?30, que não satisfaz o nosso caso. Para cos(x) = [-?5/5] e sen(x) = [-?6/5], vem que tg(2.x) = 2.?30, que não satisfaz o nosso caso Logo, somente há dois casos que satisfazem o requerido (tg(2.x) = -4/3), que é quando: i) cos(x) = [(2.?5)/5] e sen(x) = [-?5/5]; ou ii) cos(x) = [?5/5] e sen(x) = [(2.?5)/5]. Tomando, por exemplo, cos(x) = [?5/5] e sen(x) = [(2.?5)/5] , teremos que x = arccos(?5/5) e x = arcsen [(2.?5)/5] <=> x = x = arccos(?5/5) = arcsen [(2.?5)/5], que é o ângulo que procuramos. Aplicando isso em uma calculadora científica, chegaremos que x é aproximadamente, 63,43º ou, mais precisamente, 63º25'50''.. Espero tê-lo ajudado! =)