Tarefa de calculo 1

Primeiro vamos obter a primeira derivada, denotada por f'(x), utilizando-se da regra do quociente

f(x)= x²/ (x²-1)
f'(x)= - (2x)/(x²-1)²

Os pontos criticos são dados por f'(x) = 0

Nesse caso os pontos críticos são em x=0

b) A função é crescente onde a sua primeira derivada for positiva e decrescente onde a sua primeira derivada for negativa 

 

Nesse caso para x<-1 ela é crescente e para x>1 é decrescente

Olá... posso te ajudar

Boa tarde!

Para vc determinar os pontos críticos de uma função vc deve derivar a função e igualá-la a zero.

f(x)= x²/ (x²-1)

Teste da 1 derivada:
f'(x) = -2x/[(x^2-1)^2] = 0
Ponto crítico -> X=0

Teste da 2 derivada:
f"(x) = [-2.(x^2-1)^2+8.X^2.(X^2-1)]/[(x^2-1)^4]
Substituir X=0: f"(x) =-2. Como -2 é menor que zero, o ponto é de máximo.

f(0) = 0. -> Coordenadas críticas de máximo: (0,0).

Como o ponto é de máximo, temos:

Para xPara x>0: Decrescente

Um abraço

Os valores de máximo e mínimos são obtidos igualando a primeira derivada a zero. Nesse caso, f(x) = x^3/3-2x^2+3x+8 ---> f'(x) = x^2-4x+3 As raízes da primeira derivada são x=1 e x=3. Logo, esse pontos ou são de máximo ou de mínimo. Para saber se é máximo ou mínimo temos que fazer a segunda derivada. Quando a segunda derivada é negativa é porque a concavidade do gráfico de f(x) é para baixo ( o formato do U ao contrário, para baixo) e por consequência naquela região teremos um ponto de máximo. Quando a segunda derivada é positiva é porque a concavidade do gráfico é para cima (o formato do U normal) e logo teremos um ponto de mínimo. A segunda derivada é: f''(x) = 2x-4. Logo, para x<2 teremos uma curva com concavidade para baixo e para x>2 teremos uma concavidade para cima. Portanto, X=1 é um ponto de máximo e X=3 é um ponto de mínimo. E esses valores estão dentro do intervalo apontado na questão.

Bom dia, Francisco Uma forma muito rápida de encontrar máximos e mínimos é derivando a função e depois igualando a 0. Existem casos que isso não é o suficiente mas como a função é contínua em todo o seu domínio e não possui nenhum caso atípico, basta prosseguirmos normalmente. Temos que , f(x) = x³/3 - 2x² + 3x + 8 Para derivá-la usaremos a regra mais simples de derivação que é a Regra do Tombo/Expoente: Você pega o que se encontra no expoente e tomba multiplicando e o expoente é diminuído em 1 ( ou seja, basta subtrair 1 do expoente ). A derivada da função acima fica, então f'(x) = 3*[x^(3-1)]/3 - 2*2*x^(2-1) + 1*3*x^(1-1) + 0*8*x^(0-1) f'(x) = x² - 4x + 3 + 0 = x² - 4x + 3 Observe que * é o sinal de multiplicação e que na 1ª das duas linhas anteriores apenas expliquei o processo de como encontrar a derivada pela Regra do Tombo/Expoente. Lembrando que em outros casos pode ser necessário usar a Regra do Produto e outras regras por exemplo. Veja também que f'(x) [ a derivada de f(x) ] é uma parábola com concavidade voltada para cima ( pois o número que está multiplicando o x² é positivo ). Como para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x) devemos derivá-la e igualar a sua derivada a 0, façamos x² - 4x + 3 = 0 Então temos que encontrar as raízes de f'(x). Isso pode ser feito de diversas formas, mas faremos por Soma e Produto: Soma das raízes = -(-4)/1 = 4 [ o oposto aditivo do coeficiente que multiplica o x dividido pelo coeficiente de x² = -b/a ] Produto das raízes = 3/1 = 3 [ obtido de c/a ] Os únicos números que somados dão 4 e multiplicados um pelo outro dão 3 são o 3 e o 1 ( de fato 3+1 = 4 e 3*1 = 3 ). Então as raízes da função f'(x) são 3 e 1. Para saber se f(1) e f(3) são pontos máximo ou mínimo, devemos derivar f'(x) e verificar o sinal de f''(x) [ a derivada de f'(x) ] nos pontos f''(1) e f''(3). Temos que f'(x) = x² - 4x + 3 Logo, f''(x) = 2x - 4 f''(1) = 2 - 4 = -2 que é menor que 0 f''(3) = 6 - 4 = 2 que é maior que 0 Como f''(1) < 0, então f(1) é um ponto máximo. Por outro lado f''(3) > 0 e, então, f(3) é um ponto mínimo. Observe que tanto 1 quanto o 3 encontram-se no intervalo [-1,4] então fiquemos com esses dois valores. Abraço, Davi

2p = 2x + 2y = 20 -> x+y = 10 y = 10-x A(x) = x(10-x) = 10x - x^2 dA/dx = 10-2x = 0 -> x = 5m logo y = 5m

Boa noite, Francisco!

Sejam a medida da largura e a medida do comprimento do terreno. O perímetro é dado por e pelo enunciado , assim . Vamos colocar em função de , ficamos com .

A área do terreno será dada por , ou seja .

Vamos derivar e igualar a 0 parar encontrar os pontos críticos: , então e daí .

Derivando mais uma vez, ficamos com , ou seja, realmente nos dará um ponto de máximo. Então, o comprimento que nos dará a área máxima será . Portanto, a área do terreno é máxima quando a largura mede 5 m e o comprimento também mede 5 m.