Teorema fundamental das integrais de linha

(Teorema Fundamental das Integrais de Linha) Seja $\mathbf{F}$ um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função escalar diferenciável f tal que:

Se $C$ é uma curva suave e orientada positivamente que conecta dois pontos A e B no domínio de F, então:

onde:

• F é um campo vetorial conservativo.
• f é a função potencial de F.
• C é uma curva suave e orientada de A até B.

Demonstração:

A integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C parametrizada por r(t), com t variando de $a$ até b, é dada por:

Como , podemos reescrever a integral como:

Pela regra da cadeia, sabemos que:

Portanto, a integral se torna:

A integral de uma derivada é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

Como r(a)=A e r(b)=B, temos:

Logo, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais da curva e não do caminho percorrido.