Teoria de números congruência

I) Qual o resto da divisão de 10^10 + 10^102+ + 10^10 100 por 7.
II) Pelo teorema de Fermat Ache o resto da dividão 2^9, 3^8, 5^13 por 7.
III) Pelo teorema de Euler encontre p resto da divisão 3^100 por 37

João Teixeira Teixeira
João Teixeira
perguntou há 1 semana

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1 resposta
Professor Matheus Bohrer
Respondeu há 1 semana
João, você tem que proceder por aritmética modular!

I) Nota que 10 = 3 (mod 7), então (elevando ao quadrado a equacao e notando que 9 = 2 (mod 7), temos que 10² = 2 (mod 7); elevando os dois lados na quinta potencia e notando que 32 = 4 (mod 7), tu tem que 10^10 = 4 (mod 7).

Como 10^10 = 4 (mod 7), podemos elevar os dois lados ao quadrado e notar que 16 = 2 (mod 7), nos temos que 10^20 = 2 (mod 7); ainda, elevando essa ultima equacao na quinta potencia, tu obtem que 10^100 = 4 (mod 7).

Nota que até agora ja sabemos que 10^10 = 4 (mod 7), 10^2 = 2 (mod 7) e que 10^100 = 4 (mod 7). Multiplicando essas ultimas duas equacoes, obtemos 10^102 = 8 = 1 (mod 7). Assim, podemos fazer

10^10 + 10^102 + 10^10 = 4 + 1 + 4 = 9 = 2 (mod 7).

Procedendo de maneira análoga e usando o Teorema de Euler-Fermat, você resolve as outras duas. Caso precise de ajuda, dá um grito!

Abração!

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