Teoria dos numeros mostrar que n⁵ - n

Vamos usar o princípio da indução matemática.

Base:

Para n = 1, temos que n? - n = 1 - 1 = 0, que é divisível por 30.

Hipótese:

Suponha que n? - n é divisível por 30 para todo inteiro n ? 1.

Passo Indutivo:

Vamos provar que n? - n também é divisível por 30.

Temos que

n? - n = n(n? - 1)

Por hipótese, n? - 1 é divisível por 30. Como n é um inteiro, n é divisível por 1, 2, 3, ou 5.

Se n é divisível por 2, então n? - n é divisível por 2, 4, e 6, que são divisores de 30.

Se n é divisível por 3, então n? - n é divisível por 3, 9, e 15, que são divisores de 30.

Se n é divisível por 5, então n? - n é divisível por 5, 10, e 15, que são divisores de 30.

Assim, n? - n é divisível por 30, o que completa o passo indutivo.

Conclusão:

Por indução matemática, n? - n é divisível por 30 para todo inteiro n.

Outra demonstração:

Podemos também usar o fato de que n? - n é o produto de dois polinômios:

n? - n = (n - 1)(n? + n³ + n² + n + 1)

O polinômio n? + n³ + n² + n + 1 é divisível por 3, pois sua soma dos coeficientes é 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10, que é divisível por 3.

Assim, n? - n é o produto de dois polinômios, um dos quais é divisível por 3. Portanto, n? - n é divisível por 30.

Note que n^5-n= n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=n(n^2+1)(n+1)(n-1)

Como pelo menos um entre os números n e (n+1) é divisível por 2, segue que n^5-n é divisível por 2.

Da mesma forma, pelo menos um entre os números n, n+1 e n-1 é divisível por 3, portanto n^5-n é divisível por 3.

Resta mostrar a divisibilidade de n^5-n por 5. Se n é congruente a 0, 4 ou 1 módulo 5, isso segue, pois um dentre n, n+1 e n-1 seriam divisíveis por 5. Se n é congruente a 2 ou 3 módulo 5, então (n^2+1) deve ser divisível por 5. 

Logo, n^5-n é divisível por 30.

Para mostrar que n? - n é divisível por 30 para todo inteiro n, você pode utilizar a congruência modular. Primeiro, observe que n? - n = n(n? - 1). Agora, vamos analisar n? - 1:

n? - 1 = (n² + 1)(n² - 1) = (n² + 1)(n + 1)(n - 1).

Agora, é fácil ver que, para qualquer inteiro n, pelo menos um dos fatores (n + 1) ou (n - 1) deve ser divisível por 2, e um dos fatores (n² + 1) ou (n² - 1) deve ser divisível por 3. Portanto, n? - 1 é divisível por 2 * 3 = 6 para todo inteiro n.

Uma vez que n? - 1 é divisível por 6 e n? - n = n(n? - 1), isso implica que n? - n é divisível por 6 * n = 30 para todo inteiro n.

Primeiramente, vamos decompor: 

Decompondo 30 em fatores primos, temos 30 = 2x3x5 , ou seja, se um número for divisível por 2, 3 e 5, será divisível por 30; se o número contiver os fatores 2, 3 e 5, será divisível por 30.

Os primeiros 3 termos de são 3 números inteiros em sequência . Qualquer sequência de 3 números inteiros, você terá, necessariamente, um número par e um divisível por 3. Até porque, um número par (com fator 2) aparece de 2 em 2; e o múltiplo de 3 aparece de 3 em 3. Vamor ver...

...-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7...

Ex: -6 (-1x2x3 - possui fator 2 e fator 3), -5 (-1x5 - possui fator 5), -4 (-1x2² - possui fator 2) ; -6x(-5)x(-4) = -120

Ex: 5 (possui fator 5), 6 (2x3 - possui fator 2 e fator 3), 7 ; 5x6x7 = 210

Ex: 6 (2x3 - possui fator 2 e fator 3), 7, 8 (2³ - possui fator 2) ; 6x7x8 = 336

Então, os 3 primeiros termos contêm, necessariamente, os fatores 2 e 3 em sua decomposição.

O fator 5 pode estar em ou em .

Se são 3 números em sequência, então eles podem terminar em (0,1,2), (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6), (5,6,7), (6,7,8), (7,8,9), (8,9,0) ou (9,0,1).

Tudo que termina em 5 ou 0 contém o fator 5 em sua decomposição, então os 3 termos já seriam divisíveis por 30.

Ex: 35x36x37 é divisível por 30. São 3 termos em sequência ( possuem os fatores 2 e 3 em sua decomposição), e o primeiro termo termina em 5 (possui fator 5).

Ex: 289x290x291 é divisível por 30. São 3 termos em sequência ( possuem os fatores 2 e 3 em sua decomposição), e o segundo termo termina em 0 (possui fator 5).

Eliminamos (0,1,2), (3,4,5), (4,5,6), (5,6,7), (8,9,0) e (9,0,1), sobrando então (1,2,3), (2,3,4), (6,7,8) ou (7,8,9). n é o termo do meio, então n termina em 2, 3, 7 ou 8. Lembrem-se agora que o outro termo é . Os 3 primeiros termos que terminam em (1,2,3), (2,3,4), (6,7,8) ou (7,8,9) não possuem o fator 5 em sua decomposição, entõ para que seja divisível por 30, deve tê-lo. Agora vamos elevar n ao quadrado e depois somar 1: todo múmero que termina em 2 ou 8, ao elevar ao quadrado, termina em 4, ao somar-se 1 a esse número, obtêm-se um número que termina em 5. E todo múmero que termina em 3 ou 7, ao elevar ao quadrado, termina em 9, ao somar-se 1 a esse número, obtêm-se um número que termina em 0. Nesses 2 casos, percebe-se que contém o fator 5.

Conclusão: seja lá qual for o valor de n, é divisível por 30.

PS: sim, eu sei que dá pra explicar de maneira mais resumida, mas gosto de mostrar esse ponto, mesmo sendo cheio de "arrudeio".

Temos que 30 = 2.3.5 portanto teremos que mostrar que n^5 – n é divisível por 2, 3 e 5 simultaneamente.

Inicialmente vamos fatorar n^5 – n

n^5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n2 – 1).(n2 + 1) = (n – 1).n.(n + 1).(n2 + 1)

2 | n^5 – n

Logo percebemos que n – 1, n e n + 1 são três números consecutivos e em uma sequência de três números consecutivos pelo menos um é par, e então o produto dos três números é par e consequentemente divisível por 2.

3 | n^5 – n

Em uma sequência de três números consecutivos um deles é múltiplo de 3, e então o produto dos três números é divisível por 3.

5 | n^5 – n

Um número dividido por 5 deixa resto 0,1,2,3 ou 4. Assim n=5k+r com r ? {0,1,2,3,4}

Para r=0 => n=5k

(5k-1).5k.(5k+1).((5k)²+1)

onde (5k-1) ,5k e (5k+1) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k

Para r=1 => n=5k+1

(5k+1-1).(5k+1).(5k+1+1).((5k+1)²+1)

5k.(5k+1).(5k+2).(5k+1)²+1)

onde 5k ,(5k+1) e (5k+2) são três números consecutivos e múltiplo de 5 devido ao termo 5k

Para r=2 => n=5k+2

(5k+2-1).(5k+2).(5k+2+1).((5k+2)²+1)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+4+1)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(25k²+20k+5)

(5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5

onde (5k+1),(5k+2) e (5k+3) são três números consecutivos e (5k+1).(5k+2).(5k+3).(5k²+4k+1).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5

Para r=3 => n=5k+3

(5k+3-1).(5k+3).(5k+3+1).((5k+3)²+1)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+9+1)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(25k²+30k+10)

(5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5

onde (5k+2),(5k+3) e (5k+4) são três números consecutivos e (5k+2).(5k+3).(5k+4).(5k²+6k+2).5 é múltiplo de 5 devido ao termo 5

Para r=4 => n=5k+4

(5k+4-1).(5k+4).(5k+4+1).((5k+4)²+1)

(5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1)

onde (5k+3),(5k+4) e (5k+5) são três números consecutivos e (5k+3).(5k+4).(5k+5).((5k+4)²+1) é múltiplo de 5 devido ao termo 5 quando no termo (5k+5) colocamos 5 em evidência.

Basta provar que é divisível por , e . Veja que pode ser fatorado da seguinte maneira:

.

Esse número com certeza é divisível por , pois contem dois fatores consecutivos, e , e um deles necessariamente é divisível por . Analogamente, ele também possui três fatores consecutivos, , e , então necessariamente também será divisível por . Resta analisar a divisibilidade por . Para isso, vamos utilizar a técnica de congruência modular. Todas as congruências abaixo são . Há cinco possibilidades:

.

Se , então o fator é divisível por . Se , então é divisível por . Se , então é divisível por . Se por outro lado, temos , então temos:

,

e nesse caso seria o fator que seria divisível por 5. Portanto, em qualquer um dos casos, um dos fatores sempre será divisível por , o que conclui a demonstração.

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