Torção combinatorial em complexos de cadeia - turaev

A torção combinatorial é um conceito em topologia e geometria que está intimamente ligado ao estudo de complexos de cadeia e formas quadráticas. Uma ferramenta matemática crucial para a análise topológica e a classificação de variedades e espaços mais gerais é a chamada "Torção de Turaev". Vamos explorar alguns dos conceitos e explicar um pouco mais o que isso significa.

Complexos de Cadeia

Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos abelianos (ou módulos sobre um anel) ligados por homomorfismos de tal forma que a composição de dois homomorfismos consecutivos é zero. Formalmente, um complexo de cadeia ((C_, d_)) consiste de grupos abelianos $C_n$ e homomorfismos $d_n:C_n\to C_{n-1}$ tal que $d_{n-1}\circ d_n=0$.

Homologia e Torção

A homologia de um complexo de cadeia mede a falha dos homomorfismos $d_n$ em serem exatos, atribuindo invariações que ajudam a classificar os espaços topológicos.

Torção de Turaev

A torção de Turaev é uma generalização combinatorial da torção analítica introduzida por D. B. Ray e I. M. Singer e desenvolvida por V. G. Turaev. É uma ferramenta poderosa que associa uma invariante a um complexo de cadeia e é usada para distinguir entre variedades que são homotopicamente equivalentes, mas não homeomorfas.

Definição Informal

A torção combinatorial de Turaev pode ser vista como um refinamento do número de Reidemeister, uma invariante clássica utilizada na topologia algébrica, aplicada a complexos de cadeia.

Para definir formalmente a torção, consideramos um complexo de cadeia acíclico $C_{*}$ com bases escolhidas $\{{𝐜}_n\}$ para cada grupo $C_n$. A torção é então definida em termos dos determinantes dos mapas induzidos entre as cadeias e suas bases.

O símbolo de torção geralmente é denotado por $\tau (C_{*})$.

Propriedades e Aplicações

1. Invariância: A torção de Turaev é invariante sob isomorfismos de complexos de cadeia.
2. Multiplicatividade: A torção de Turaev possui propriedade multiplicativa em sequências exatas curtas.
3. Aplicações em Topologia de Variedades: É fundamental no estudo de invariantes de nódulos e links, classificações de variedades tridimensionais, e outras áreas da topologia algébrica e geométrica.

Exemplos

Vamos considerar um exemplo simples de complexo de cadeia:

Neste exemplo, - $C_0=C_2=0$ - $Z_1=\mathbb{Z}$ - $B_1=2\mathbb{Z}$

A torção combinatorial aqui seria computada em relação às bases e, nesse caso, seria o determinante do mapa $\times 2$, que é 2.

Para uma abordagem mais profunda e rigorosa, é recomendável consultar as referências e textos sobre a teoria da torção de Turaev, como o livro "Introduction to Combinatorial Torsions" de Turaev.