Olá a todos os professores disponíveis.

Recentemente me deparei com seguinte dúvida:

Considere uma -variedade fechada (ou seja, ) conexa e, a priori, não assumo nada acerca da orientabilidade.

Sabemos que pelo Teorema de Hurevicz o primeiro grupo de homologia de é a abelianização do grupo fundamental, além disso, todo grupo abeliano se decompõe como uma soma direta de um grupo livre e o subgrupo de torção, ou seja, . Minha dúvida é em relação ao subgrupo , seria possível que esse grupo fosse ?

Minha tentativa foi a seguinte: Considerando que os espaços de lens da forma , satisfazem e de posse do teorema exceto em , então tomando a soma conexa de  cópias de (que denotarei por , deveríamos ter:

.

Meu raciocínio está correto? Caso não esteja, onde falha? e qual poderia ser uma dica de caminho que devo seguir?