Olá a todos os professores disponíveis.
Recentemente me deparei com seguinte dúvida:
Considere uma
-variedade fechada (ou seja,
) conexa e, a priori, não assumo nada acerca da orientabilidade.
Sabemos que pelo Teorema de Hurevicz o primeiro grupo de homologia de é a abelianização do grupo fundamental, além disso, todo grupo abeliano se decompõe como uma soma direta de um grupo livre e o subgrupo de torção, ou seja,
. Minha dúvida é em relação ao subgrupo
, seria possível que esse grupo fosse
?
Minha tentativa foi a seguinte: Considerando que os espaços de lens da forma , satisfazem
e de posse do teorema
exceto em
, então tomando a soma conexa de
cópias de
(que denotarei por
, deveríamos ter:
.
Meu raciocínio está correto? Caso não esteja, onde falha? e qual poderia ser uma dica de caminho que devo seguir?
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vou fazer aqui e ja te retorno
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Olá, Pedro.
O seu raciocínio me parece correto.
Creio que haja apenas um detalhe quando você diz que a variedade é "fechada" (geralmente pedimos que ela seja compacta e não apenas que ), mas isso não atrapalha o seu argumento, já que
é compacto.
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