Trigonometria - triângulos

Como o ângulo no ponto B é 2α, o ângulo APB é α, o triângulo ABP é isósceles e portanto PB = AB = 2000 m.
Assim, a menor distância PC do barco até P será, observando-se o triângulo BPC, em que C é a projeção do ponto P sobre a reta que passa por AB, dada por
sen(2α) = PC/PB
PC = 2000 m * sen(60) = 2000 m * √3 / 2 = 1000 √3 m.

Oi Luis, A ideia é achar a distancia entre o ponto P e a semirreta que começa em A e passa por B. Vamos chamar de C o ponto na semirreta AB onde a distancia entre P e a semirreta AB seja minima. O exercicio pede exatamente o comprimento do segmento PC, vamos tentar calcular esse valor. Eu não sei como inserir desenhos nas respostas, sugiro que vc trace a altura do triangulo APC para acompanhar o argumento a seguir. Vamos verificar que o triangulo ABP é isoceles e que os segmentos AB e BP tem o mesmo comprimento: Temos que o angulo(PAB) = 30, angulo(ACP) = 90 e portanto angulo(APC)=60. Como angulo(PBC) = 60 e angulo(BCP)=90, segue que angulo(BPC)=30. Usando que angulo(APC) = 60 e angulo(BPC)=30, temos que angulo(APB)=30. Portanto o triangulo ABP é isoceles e o segmento AB tem o mesmo comprimento que o segmento BP. Agora que sabemos quanto vale PB usamos esse valor na seguinte igualdade: seno(60) = PC/PB = PC/2000 = raiz(3)/2 e portanto PC = 1000xraiz(3).