Para encontrar o cosseno do ângulo no tetraedro regular , devemos primeiramente entender a disposição geométrica do tetraedro e as posições dos pontos e .
Um tetraedro regular tem todas as suas arestas de igual comprimento. Em nosso caso, consideraremos o lado como tendo comprimento 1 (sem perda de generalidade).
Podemos situar os quatro vértices do tetraedro regular em um sistema de coordenadas tridimensional para facilitar o cálculo dos vetores envolvidos. Suponha:
Para e :
Agora, calculamos os vetores e :
O produto escalar é:
As normas (módulos) dos vetores são:
O cosseno do ângulo é dado por:
Assim, o cosseno do ângulo é .
O tetraedro é uma pirâmide de base triangular. Tem 4 faces, todas sendo triângulos equiláteros.
Vou usar a lei do cosseno do triângulo NMA:
Para isso temos que calcular as medidas dos segmentos AN, MN e AM.
1) AN=AM=altura de um triângulo equilátero:
Note que AN é altura do triângulo equilátero ACD, AM é altura do triângulo equilátero ABC (que têm as mesmas medidas do triângulo ACD). Para calcular basta usar o teorema de Pitágoras no triângulo ACN, ou no ADN, ou no ABM, ou no AMC. Vou fazer isso no primeiro:
Vamos denotar a medida de AC por x (como ABCD é um tetraedro regular temos AC=AB=AD=BC=BD=CD=x). N é ponto médio de CD, então . Fazendo os cálculos temos:
2) Vamos calcular MN agora. Os triângulos MNC e BDC são semelhantes. Como M é ponto médio de BC e N é ponto médio de CD, sabemos que os aldos de MNC são o dobro dos lados de BDC. Logo:
Ou seja,
3) Vamos substituir o que achamos em 1) e 2) na Lei dos Cossenos:
Como , divida tudo por
e multiplique tudo por 4, temos:
Fazendos as contas temos:
se ainda tiver dúvidas basta me procurar
