(UF-RS) O tetraedro regular ABCD está representado na figura

Para encontrar o cosseno do ângulo $\angle NMA$ no tetraedro regular $ABCD$, devemos primeiramente entender a disposição geométrica do tetraedro e as posições dos pontos $M$ e $N$.

Um tetraedro regular tem todas as suas arestas de igual comprimento. Em nosso caso, consideraremos o lado como tendo comprimento 1 (sem perda de generalidade).

• M é o ponto médio da aresta $BC$, logo, a coordenada de $M$ é a média das coordenadas de $B$ e $C$.
• N é o ponto médio da aresta $CD$, então sua coordenada é a média das coordenadas de $C$ e $D$.

Podemos situar os quatro vértices do tetraedro regular em um sistema de coordenadas tridimensional para facilitar o cálculo dos vetores envolvidos. Suponha:

Para $M$ e $N$:

Agora, calculamos os vetores $\overrightarrow{MA}$ e $\overrightarrow{NA}$:

O produto escalar $\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{NA}$ é:

As normas (módulos) dos vetores são:

O cosseno do ângulo $\angle NMA$ é dado por:

Assim, o cosseno do ângulo $NMA$ é $\frac{5}{6}$.