Um caso bem particular de análise combinatória

Question

Boa tarde a todos!Tenho um problema de análise combinatória e não sei como resolver. Na verdade esse tema é um dos meu pontos fracos na matemática.Mas antes é preciso explicar detalhadamente a questão. Vou usar letras, números e cores para facilitar.Tenho 5 cores (vermelho, azul, amarelo, verde, branco)Em cada uma das cores, dois subgrupos:Vermelho: 1 e AAzul: 2 e BAmarelo: 3 e CVerde: 4 e DBranco: 5 e EQuantas combinações 3 a 3 grupos (cores) existem, CONSIDERANDO que só pode haver 1 de cada grupo para 1 cor sem repeti-lo?Exemplo: 1, B e 5 OU 2, D e EGrato pela ajuda!

Lucas G. · Accepted Answer

Boa tarde, César. Talvez escrevendo de forma mais descritiva e explícita te ajude.

Seja S o conjunto de respostas, ou seja, ternas de cores que não são do mesmo grupo, sendo os "grupos" os conjuntos de duas cores cada que você apresentou: Grupo das vermelhas 1 e A, das azuis 2 e B, etc.

O conjunto S pode ser particionado entre os subconjuntos S_{G1, G2, G3} de ternas com grupos pré-estabelecidos G1, G2 e G3 distintos; por exemplo, S_{Az, Am, Vrd} é o subconjunto das ternas de uma cor azul, uma amarela e uma verde. Assim, S é a união disjunta dos S_{G1, G2, G3} para cada conjunto de 3 grupos G1, G2 e G3. Em símbolos:

$S = \bigsqcup\limits_{\{G_1, G_2, G_3\}\in \cal{G}_0} S_{G_1, G_2, G_3}$ , onde $\cal{G}_0$ denota o conjunto dos conjuntos de 3 grupos {G1, G2, G3} mencionados acima.

Como essa união é disjunta, decorre que o número de elementos de S é a soma do número de elementos de cada S_{G1, G2, G3} para {G1, G2, G3} variando em $\cal{G}_0$ :

$\#S = \sum\limits_{\{G_1, G_2, G_3\}\in\cal{G}_0} \#(S_{G_1, G_2, G_3})$ .

Mas dado um {G1, G2, G3} em $\cal{G}_0$ qualquer, é fácil calcular #(S_{G1, G2, G3}): Há uma cor do grupo G1 (duas possibilidades). uma do G2 (duas possibilidades) e uma do G3 (duas possibilidades), sendo todas essas escolhas independentes. Ou seja, #(S_{G1, G2, G3}) = 2^3 = 8. Portanto, a soma assima é simplesmente 8 vezes o número de termos sendo somados $(\#\cal{G}_0)$ , e esta quantidade de termos somados é simplesmente o número de escolhas de 3 grupos distintos G1, G2, G3 dentre os 5 grupos possíveis Vrm, Az, Am, Vrd, Br, ou seja:

$\# S = \sum\limits_{\{G_1, G_2, G_3\}\in\cal{G}_0} 8 = 8\cdot \#(\cal{G}_0) =$

$= 8\dbinom{5}{3} = 8\cdot 10 = 80.$

Obs.: Releia os princípios aditivo e multiplicativo de contagem e tente identificar onde cada um aparece na solução. É simplesmente uma forma rigorosa e fundamental de reprová-los a partir de conjuntos, o que num certo sentido é reinventar a roda, mas pode deixar as coisas mais claras e entendíveis.

Um caso bem particular de análise combinatória

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