Um paralelepípedo de base quadrada está inscrito em um cone circular reto de modo que os vértices de uma de suas bases pertencem à superfície

A Resposta do Prof. Edinei contém 2 pressupostos equivocados.

1 - Interpretação
Ele cálculou a área do paralpp. usando a altura do CONE como a mesma do paralpp.,
ou seja, o cálculo dele é de um CILINDRO e não de um CONE.

2 - Ignorou que temos um problema de otimização e não apenas de geometria.
Ao afirmamos que a base quadrada no "solo" do cone está tocando a borda circular do cone, caímos
em um caso não ótimo.

 (Editado: A resposta que eu havia digitado antes tem um erro na parte da análise da tangente do triângulo gerador do cone. Trecho errados estão riscados)

Vamos lá, veja o corte de metade do cone.

L é o lado do quadrado
h é a altura do paralpp.

r é o raio da base
r = x + L/2 = 1
x = 1 - L/2
y = hipotenusa de metade da base do paralpp.

r = x + y = 1

x = 1 - y

y^2 = (L/2)^2 + (L/2)^2 = (L^2)/2

y = L / raiz(2)

x = 1 - L / raiz(2) = (raiz(2) - L ) / raiz(2)

(Editado: Melhor forma de visualizar, desenho um cubo em perspectiva 3D no papel, projete para cima o ponto sobre seu centro, trace uma reta entre este ponto e o vértice do cubo, repita para os três vértices visíveis do desenho. Conecte as pontas formando a base circular do cone.

Ao fazer isso perceba como a base do cubo NÃO intercepta a borda da base do CONE)

       /|
      / |
     /  | 2raiz(2)
    /__|
   /|   |
  / |   | h
/_ |__|
x L/2

x , y

            |
       __  |
       |    | 
 ___ |__|______
       |    |
       |__|
            |
(Faz de conta que tem uma cruz dividindo a circunferência em 4 partes )

A área superficial será dada por
AT = 2*Ab + 4*AL
Ab = L*L
AL = L*h
AT(L,h) = 2*L*L + 4*L*h

Precisamos de uma relação entre h e L para otimizar AT em função de uma das duas variáveis.
Olhe o triangulo novamente e escreva a tangente do ângulo

tg(alpha) = 2*raiz*(2) / r = h / x

com r = 1 = > h = 2*raiz*(2) * x
h(L) = 2*raiz*(2) * (1 - L/2)

h(L) = 2*raiz(2) *  (raiz(2) - L ) / raiz(2) = 2*(raiz(2) - L )

Otimize AT para L.

Editado

AT(L) = 2*L^2 + 4*L*2*(raiz(2) - L ) = 2*L^2 + 8*raiz(2)*L - 8*L^2 = -6L^2 +  8*raiz(2)*L

Derivando em relação a L i igualando a zero

d/dL (AT(L)) = -12L + 8*raiz(2) = 0 

L_otimo = 2*raiz(2) /3

AT(L_otimo)  = -6 * (2*raiz(2) /3)^2 + 8*raiz(2)*(2*raiz(2) /3) = 16/3

OBS: Desculpe ter digitado errado antes, eu vi que a outra resposta estava muito errada e respondi rápido indicando o erro e o caminho correto, todavia eu fiz uma análise errada na parte do triângulo para encontrar h(L).

imagem do problema

https://dl.dropboxusercontent.com/u/82233214/to%20Juliana%20Peres.JPG

O prof. Edinei deve ter lido com pressa, só isso.

Só uma dica quanto ao problema de otimização: como eu imagino que este seja um problema para alunos do ensino médio que ainda não têm conhecimento de derivadas, a forma que eles conseguem resolver é pela fórmula do valor máximo ou mínimo de funções de 2º grau: Yv = -delta/4a

E acho que uma boa forma de visualizar o problema é imaginar uma casquinha de sorvete tentando cobrir uma caixinha de xarope de base quadrada. Vai chegar uma certa altura em que a caixa entala na casca de sorvete. Exatamente neste ponto você imagina que o que sobrou para fora será cortado bem rente à base da casquinha, de forma que toda a caixa restante fique pra dentro da casca de sorvete. 

Bom dia a todos!