Uma empresa oferece um prêmio a clientes que participam de u

Question

Uma empresa oferece um prêmio a clientes que participam de uma promoção. Para ganhar o prêmio, o cliente deve retirar, ao acaso, uma bolinha de duas urnas diferentes (urna X e urna Y). Ambas as urnas contêm bolinhas pretas e brancas.  Atualmente:  A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna X é 15%. A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna Y é 30%. O cliente ganha o prêmio se retirar uma bolinha preta de ambas as urnas. Após algumas rodadas, a empresa decidiu reduzir a probabilidade de acerto para que ela não seja maior que 2%. Para isso, a empresa adicionará mais bolinhas brancas à urna Y, sem alterar a quantidade de bolinhas na urna X.  Sabendo que a urna Y atualmente tem 6 bolinhas pretas, quantas bolinhas brancas devem ser adicionadas à urna Y para atender ao novo limite de probabilidade?

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esse problema, primeiro precisamos determinar a probabilidade atual de retirar bolinhas pretas das duas urnas e, em seguida, ajustá-la para que não seja maior que 2%.

Atualmente, a probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna X é 15%, que pode ser representada como 0.15. A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna Y é 30%, ou 0.30.

Portanto, a probabilidade atual de retirar uma bolinha preta de ambas as urnas (X e Y) é:

P (preta de X e Y) = P (preta de X) \times P (preta de Y) = 0.15 \times 0.30 = 0.045 ou 4.5 %

A empresa deseja reduzir essa probabilidade para não mais de 2%. Portanto, precisamos ajustar a probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna Y para alcançar esse objetivo.

Vamos indicar a nova probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna Y como $P (y)$ .

Queremos que:

0.15 \times P (y) \leq 0.02

Solução para $P (y)$ :

P (y) \leq \frac{0.02}{0.15} \approx 0.1333

A probabilidade atual de retirar uma bolinha preta da urna Y é dada pelo número de bolinhas pretas divididas pelo total de bolinhas na urna Y:

P (preta de Y) = \frac{número de bolinhas pretas}{total de bolinhas em Y} = \frac{6}{total de bolinhas em Y}

Agora, para determinar quantas bolinhas brancas devem ser adicionadas, primeiro calculamos o total necessário em Y para atingir a nova probabilidade $P (y)$ .

Com o novo $P (y) = 0.1333$ :

0.1333 = \frac{6}{total de bolinhas em Y}

Resolvendo para o novo total de bolinhas em Y:

total de bolinhas em Y = \frac{6}{0.1333} \approx 45

Você já tem 6 bolinhas pretas mais a quantidade atual de bolinhas brancas. Assim, atualmente o total de bolinhas em Y é 20, pois:

\frac{6}{20} = 0.30

Para atingir o total necessário de 45 bolinhas em Y, precisamos adicionar:

45 - 20 = 25

Portanto, a empresa deve adicionar 25 bolinhas brancas à urna Y para garantir que a probabilidade de retirar uma bolinha preta de ambas as urnas não exceda 2%.

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