Uma empresa organiza uma promoção em que os clientes podem g

Question

Uma empresa organiza uma promoção em que os clientes podem ganhar um prêmio. Para ganhar, o cliente deve retirar, ao acaso, uma bolinha de cada uma das duas urnas (urna A e urna B). Ambas as urnas contêm bolinhas pretas e brancas. Atualmente:  A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna A é 20%. A probabilidade de retirar uma bolinha preta da urna B é 40%. O cliente ganha o prêmio se retirar uma bolinha preta de ambas as urnas. A empresa quer reduzir a probabilidade de ganhar o prêmio para que não seja maior que 6%. Para isso, ela pretende adicionar mais bolinhas brancas à urna B, mantendo a quantidade de bolinhas na urna A inalterada. Sabendo que a urna B atualmente possui 8 bolinhas pretas, quantas bolinhas brancas devem ser adicionadas à urna B para atender ao novo limite de probabilidade?

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esta questão, determinamos inicialmente a situação atual e então adaptamos a configuração da urna B para alcançar o objetivo desejado.

Atualmente, as probabilidades de tirar uma bolinha preta de cada urna são as seguintes:

Urna A: 20% (ou 0,2)
Urna B: 40% (ou 0,4)

A probabilidade de ganhar o prêmio (retirando uma bolinha preta de ambas as urnas) é dada pelo produto destas probabilidades:

P (ganhar o prêmio) = P (preta de A) \times P (preta de B) = 0, 2 \times 0, 4 = 0, 08 ou 8 % .

A empresa deseja que a probabilidade de ganhar o prêmio não seja maior que 6% (ou 0,06).

Para alcançar isso, somente a probabilidade da urna B precisará ser mudada. Vamos definir $x$ como a nova probabilidade de tirar uma bolinha preta da urna B. Então, queremos:

0, 2 \times x = 0, 06

Resolvendo para $x$ :

x = \frac{0, 06}{0, 2} = 0, 3

Portanto, a nova probabilidade de tirar uma bolinha preta da urna B deve ser 30% (ou 0,3).

Agora, determinamos o número de bolinhas brancas que precisam ser adicionadas para conseguir isso.

Originalmente, a urna B tem 8 bolinhas pretas e a probabilidade de tirar uma bolinha preta é 40%. Assim, o total original de bolinhas na urna B é:

P (preta de B) = \frac{número de bolinhas pretas}{total de bolinhas} = \frac{8}{T} = 0, 4

Desta equação, obtemos:

T = \frac{8}{0, 4} = 20

Ou seja, há um total de 20 bolinhas na urna B (8 pretas e 12 brancas).

Agora, queremos que a probabilidade seja 30%. Portanto, se mantivermos 8 bolinhas pretas, devemos adicionar um número $y$ de bolinhas brancas para que:

\frac{8}{20 + y} = 0, 3

Resolvendo para $y$ :

8 = 0, 3 \times (20 + y)

8 = 6 + 0, 3 y

2 = 0, 3 y

y = \frac{2}{0, 3} = \frac{20}{3} = 6, 67

Como o número de bolinhas deve ser um inteiro, arredondamos para cima, pois adicionar 6 bolinhas seria insuficiente, não reduzindo a probabilidade para 0,3 exatamente. Portanto, precisam ser adicionadas 7 bolinhas brancas para atender a restrição desejada.

Logo, devem-se adicionar 7 bolinhas brancas à urna B.

Samuel R. · Answer

Boa tarde, caro aluno!

Temos duas urnas, A e B.

Em A, a probabilidade de tirar preta é 20%. Já em B, é de 40%.

Para ganhar o prêmio deve tirar preta em A e em B.

20% x 40% = 800/1000 = 8%

Porém, ele quer reduzir para 6% essa probabilidade. Para tal, ele deve adicionar bolas brancas, sendo que a quantidade na urna A não foi alterada (ele manteve). Ele só vai alterar a quantidade de bolas brancas da urna B.

Prob de bola preta na urna B é 40%, ou seja, em 10 bolas eu tenho 4 pretas. Como são 8 bolas pretas que a urna B possui, então são 20 bolas ao todo (preta + branca).

Agora, ele irá adicionar n bolas brancas na urna B

Ficaria 20% x 8/(20 + n) = 6%

20/100 x 8/(20 + n) = 6/100

160/(20 + n) = 6

160 = (20 + n) x 6

160 = 120 + 6n

160 - 120 = 6n

40 = 6n

40/6 = n

6,66 = n

Como não tem como adicionar 6,66 bolas, ele deveria adicionar 7, já que a probabilidade final deve ser no máximo 6, podendo ser um pouco menos.

Resposta: Adicona-se 7 bolas brancas na urna B

Espero ter ajudado!

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