Uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triâ

Question

Uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros: Determine a medida do apotema da pirâmide, da altura dessa pirâmide, a área total e medida do volume

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar uma pirâmide de base quadrada regular, em que cada face lateral é um triângulo equilátero. Vamos determinar a medida do apótema, a altura, a área total e o volume da pirâmide.

1. Medida do Apótema (a)

O apótema da pirâmide é a altura de uma das faces laterais (que são triângulos equiláteros). Se o lado da base quadrada for $s$ , então o lado de cada triângulo equilátero também é $s$ . Em um triângulo equilátero de lado $s$ , a altura é dada por:

a = \frac{\sqrt{3}}{2} s

2. Altura da Pirâmide (h)

A altura da pirâmide, denotada como $h$ , pode ser encontrada considerando o triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, o apótema da pirâmide, e o raio da base da pirâmide (meia diagonal da base).

Primeiro, calcule a meia diagonal da base:

r = \frac{s \sqrt{2}}{2}

Agora, no triângulo retângulo formado pela altura $h$ , o apótema $a$ , e o raio $r$ :

h^{2} + r^{2} = a^{2}

Substituindo as expressões:

h^{2} + {(\frac{s \sqrt{2}}{2})}^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{2} s)}^{2}

h^{2} + \frac{2 s^{2}}{4} = \frac{3 s^{2}}{4}

h^{2} + \frac{s^{2}}{2} = \frac{3 s^{2}}{4}

h^{2} = \frac{3 s^{2}}{4} - \frac{2 s^{2}}{4}

h^{2} = \frac{s^{2}}{4}

h = \frac{s}{2}

3. Área Total (At)

A área total da pirâmide é a soma da área da base e das áreas das quatro faces laterais.

A área da base quadrada:

A_{base} = s^{2}

A área de uma face lateral (triângulo equilátero):

A_{lateral} = \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4}

A área total das quatro faces laterais:

A_{laterais} = 4 \times \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} = s^{2} \sqrt{3}

Portanto, a área total:

A_{t} = A_{base} + A_{laterais} = s^{2} + s^{2} \sqrt{3} = s^{2} (1 + \sqrt{3})

4. Volume (V)

O volume da pirâmide é dado por:

V = \frac{1}{3} \times área da base \times altura

V = \frac{1}{3} \times s^{2} \times \frac{s}{2} = \frac{s^{3}}{6}

Essas são as medidas e a área total e volume da pirâmide. Se você tiver um valor específico para $s$ , esses resultados podem ser calculados numericamente.

Uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triâ

1. Medida do Apótema (a)

2. Altura da Pirâmide (h)

3. Área Total (At)

4. Volume (V)

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