Uma pirâmide regular hexagonal tem arestas da base medindo 1

Question

Uma pirâmide regular hexagonal tem arestas da base medindo 10✓3 cm e arestas laterais medindo 10✓7 cm. Calcule a medida do apótamo da base e a medida do apótamo da pirâmide, a altura e o volume.

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver este problema passo a passo:

Dados da Pirâmide:

Aresta da base (l) = $10 \sqrt{3}$ cm
Aresta lateral (sl) = $10 \sqrt{7}$ cm

1. Calcular o Apótema da Base (ab):

A base é um hexágono regular. Podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros. O apótema da base do hexágono é a altura de um desses triângulos equiláteros.

Se a aresta de cada triângulo equilátero é $10 \sqrt{3}$ , a altura (ou apótema) do triângulo (ab) é dada pela fórmula:

a b = \frac{l \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{30}{2} = 15 cm

2. Calcular o Apótema da Pirâmide (ap):

O apótema da pirâmide é a altura do triângulo isósceles que forma a face lateral da pirâmide. Vamos usar o teorema de Pitágoras:

Triângulo formado por uma aresta lateral, o apótema da pirâmide (ap), e $a b$ .

s l^{2} = a p^{2} + a b^{2}

(10 \sqrt{7})^{2} = a p^{2} + 15^{2}

700 = a p^{2} + 225

a p^{2} = 700 - 225

a p^{2} = 475

a p = \sqrt{475}

O apótema da pirâmide é $\sqrt{475}$ cm.

3. Calcular a Altura da Pirâmide (h):

A altura da pirâmide, a partir do centro da base até o vértice, pode ser encontrada usando o triângulo que envolve a altura da pirâmide, o apótema da base e a aresta lateral:

s l^{2} = h^{2} + (raio da circunferência circunscrita à base)^{2}

O raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular é igual à aresta do hexágono. Portanto:

(10 \sqrt{7})^{2} = h^{2} + (10 \sqrt{3})^{2}

700 = h^{2} + 300

h^{2} = 700 - 300

h^{2} = 400

h = \sqrt{400} = 20 cm

4. Calcular o Volume (V):

O volume de uma pirâmide é dado por:

V = \frac{1}{3} \times Área da Base \times Altura

A área da base (A) de um hexágono regular é:

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l^{2}

Substituindo $l = 10 \sqrt{3}$ :

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (10 \sqrt{3})^{2}

A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 300

A = 450 \sqrt{3} {cm}^{2}

Agora, calculando o volume:

V = \frac{1}{3} \times 450 \sqrt{3} \times 20

V = 300 \sqrt{3} \times 20

V = 9000 \sqrt{3} {cm}^{3}

Resumo dos Resultados:

Apótema da base: 15 cm
Apótema da pirâmide: $\sqrt{475}$
Altura da pirâmide: 20 cm
Volume da pirâmide: $9000 \sqrt{3}$ cm³