Em um polígono regular ABCDE... as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo de 12°. O número de diagonais desse polígono pode ser determinado por:
Pra resolver essa questão, precisamos lembrar que como o polígono é regular, o ângulo entre as meditrizes vai ser igual ao ângulo central.
Sendo assim, já temos uma informação do enunciado: ângulo central .
A partir do ângulo central, conseguimos calcular o ângulo interno, lembrando que a soma dos dois precisa ser igual a . Dessa forma, temos:
A partir dessa informação, conseguimos calcular a quantidade de lados do polígono utilizando a fórmula:
Substituindo o valor que encontramos e resolvendo a expressão, encontramos:
Conseguimos descobrir que se trata de um polígono com 30 lados. Mas lembre-se que a questão pergunta quantas diagonais o polígono tem.
Nesse caso, precisamos usar a relação:
Substituindo o valor de que encontramos:
Temos então, 405 diagonais no polígono.
Explique a diferença entre um polígono convexo e um não convexo
A razão pela qual a informação sobre as mediatrizes é importante é que o ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados não consecutivos em um polígono regular é igual ao ângulo interno do polígono. Isso se deve ao fato de que, em um polígono regular, todas as mediatrizes de seus lados se encontram em um único ponto (o centro do polígono) e, portanto, dividem o espaço em ângulos iguais.
Dado que o ângulo formado pelas mediatrizes dos lados AB e CD é de 12°, sabemos que isso é igual ao ângulo interno do polígono. Como o ângulo interno (?) de um polígono regular com n lados é dado pela fórmula:
? = [(n-2) * 180°] / n
Podemos configurar a equação:
12° = [(n-2) * 180°] / n
Resolvendo essa equação para n nos dá o número de lados do polígono. Note que a resolução desta equação resulta num valor de n não inteiro. Entretanto, o número de lados de um polígono deve ser um valor inteiro, portanto, é preciso notar que a interpretação do ângulo dado no problema poderia estar se referindo ao ângulo central formado pelas mediatrizes, que é 1/n do ângulo total em um círculo (360°). Assim,
12° = 360° / n
Resolvendo para n, obtemos n = 30.
Portanto, o polígono tem 30 lados.
O número de diagonais d de um polígono com n lados é dado pela fórmula:
d = n*(n-3) / 2
Substituindo n = 30 nesta fórmula, obtemos:
d = 30*(30-3) / 2 = 30*27 / 2 = 405.
Portanto, esse polígono tem 405 diagonais.
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