Uso dos métodos substituição, e identidade

Caro João, Se f(x)' = 2 . sen x . cox x ao integrar a função seno essa resulta em um cosseno e a cosseno em seno. Então par resolver a integral é preciso fazer a substituição de variável.

a) chamando sen x = u  ==>  du = cos x . dx então a integral ficará:

f(x) = ∫  2 . sen x . cox x . dx  =  2 ∫ sen x . cox x . dx    aplicando a substítuição de variável. 

f(x) = 2 ∫ u . du  =  2 .  u² / 2  + c   e desfazendo a substituição temos: 

f(x) = sen² x + c = (1 - cos 2x) /2  + c = - cos(2x)/2 + c 

b) chamando cos x = u  ==>  du = -sen x . dx então a integral ficará:

∫  2 . sen x . cox x . dx =  -2 ∫ cos x . ( -sen x ) . dx  ,  aplicando a substítuição de variável. 

f(x) = -2 ∫ u . du  =  -2 .  u² / 2  + c   ,  desfazendo a substituição temos: 

f(x) = - cos² x + c = - (1 + cos 2x) /2  + c  = -cos (2x)/2 + c

c) Aplicando a identidade  2 sen x . cos x = sen 2x  então a integral ficará:

∫  2 . sen x . cox x . dx =  ∫ sen 2x . dx  =  - cos(2x) /2  + c 

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