Verificar o subespaço gerado por determinados vetores

Question

Olá! Minha dúvida é a seguinte: tenho os vetores v1=(2,-2,0), v2=(6,1,4), v3=(2,0,-4). Preciso determinar o subespaço do R3 gerado por eles. Eu fiz: (x,y,z)= (2a+6b+2c, -2a+1b, 4b-4c)  a partir daí, não sei o que fazer. Vejo que tem gente que escalona e gente que resolve por sistemas. Como sei qual é o ideal? E como ficaria a resposta? Obrigada

Profes A. · Accepted Answer

Para determinar o subespaço gerado pelos vetores $v_{1} = (2, - 2, 0)$ , $v_{2} = (6, 1, 4)$ e $v_{3} = (2, 0, - 4)$ , você pode usar a combinação linear desses vetores, como você já começou.

O subespaço gerado por $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ pode ser expresso como:

(x, y, z) = a (2, - 2, 0) + b (6, 1, 4) + c (2, 0, - 4)

Isso gera o sistema:

x = 2 a + 6 b + 2 c

y = - 2 a + b

z = 4 b - 4 c

Para entender melhor o subespaço, uma boa abordagem é colocar esses vetores em uma matriz e, em seguida, escaloná-la para ver a sua linearidade e determinar a dimensão do espaço gerado por eles.

Vamos construir a matriz dos vetores como colunas:

A = (\begin{matrix} 2 & 6 & 2 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 4 \end{matrix})

Agora, vamos escalonar essa matriz. Para fazer isso, vamos realizar operações elementares nas linhas:

Trocar a primeira linha pela segunda, e depois dividir a nova primeira linha por $- 2$ :

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{matrix})

Substituir a segunda linha por $L_{2} - 2 L_{1}$ :

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 12 & 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{matrix})

Dividir a segunda linha por $12$ :

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 4 & - 4 \end{matrix})

Substituir a terceira linha por $L_{3} - 4 L_{2}$ :

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & - \frac{26}{6} \end{matrix})

Finalmente, dividir a terceira linha por $- \frac{26}{6}$ :

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Com essa matriz escalonada, podemos ver que as 3 colunas formam um conjunto linearmente independente, o que significa que os vetores $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ são linearmente independentes e o subespaço gerado por eles em $ℝ^{3}$ é o próprio espaço $ℝ^{3}$ .

Portanto, o espaço gerado por $v_{1}, v_{2},$ e $v_{3}$ é $ℝ^{3}$ .

Resumindo, você escalonou a matriz formada pelos vetores para entender sua linearidade. Essa é uma abordagem eficiente e geralmente a preferida, pois revela a dimensão do espaço gerado e a relação entre os vetores.

Aruana C. · Answer

Oi, Laura. N&atilde;o tem uma forma ideal, depende de como voc&ecirc; est&aacute; mais acostumada a fazer. Quem exercita bastante j&aacute; consegue bater o olho e ver se fica mais r&aacute;pido por sistema ou escalonando. Pra mim d&aacute; no mesmo, as coisas que voc&ecirc; vai fazer na matriz (somar linhas, multiplicar por -1, -2, etc) voc&ecirc; tamb&eacute;m faz no sistema... Bom, vejamos a&iacute; esse caso. O objetivo &eacute; colocar cada escalar a , b e c como fun&ccedil;&atilde;o de x, y e z. Ent&atilde;o voc&ecirc; escreve: 2a +  6b + 2c  = x-2a   + b         = y         4b   -4c   = zDe cara voc&ecirc; v&ecirc; que 2a e -2a podem se cancelar numa soma de linhas. Procurando um pouco mais, voc&ecirc; v&ecirc; que o 2c(1&ordf; equa&ccedil;&atilde;o) pode se cancelar com o -4c (3&ordf; equa&ccedil;&atilde;o) se voc&ecirc; dividir a 3&ordf; equa&ccedil;&atilde;o por 2. Ent&atilde;o fica: 2a  + 6b  + 2c  = x-2a + b           = y        2b  - 2c  = z/2Somando as tr&ecirc;s equa&ccedil;&otilde;es, a e c v&atilde;o ser cancelados e conseguimos isolar o b: 9b = x + y + z/2 --> b = x/9 + y/9 + z/18Beleza, j&aacute; temos b em fun&ccedil;&atilde;o de x, y e z, agora s&oacute; faltam a e c. Pegando a 2&ordf; equa&ccedil;&atilde;o - que &eacute; mais simples - e substituindo o valor de b, temos:-2a + b = y-2a = y - b-2a = y - (x/9 + y/9 + z/18)-2a = -x/9 + 8y/9 - z/18a = x/18 - 8y/18 + z/36 --> a = x/18 - 4y/9 + z/36    ***editando aqui porque eu tinha esquecido do sinal negativo de -2****Agora voc&ecirc; pode pegar outra equa&ccedil;&atilde;o (a 3&ordf;, por exemplo) para encontrar o valor de c em fun&ccedil;&atilde;o de x, y e z:4b - 4c = z4c = 4b - zc = b - z/4c = x/9 + y/9 + z/18 - z/4c = x/9 + y/9 - 7z/36Logo, o subespa&ccedil;o S gerado pelos vetores v1, v2 e v3 &eacute;: S = { (x/18 - 4y/9 + z/36)v1 +( x/9 + y/9 + z/18)v2 + (x/9 + y/9 - 7z/36)v3}Voc&ecirc; ainda pode escrever isso de maneira mais ''elegante'', colocando termos comuns em evidencia. ;-)Espero ter ajudado!

Verificar o subespaço gerado por determinados vetores

Um professor já respondeu

Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora

Precisa de outra solução? Conheça