Verificar o subespaço gerado por determinados vetores

Matemática Vetores Sistemas R3
Olá! Minha dúvida é a seguinte: tenho os vetores v1=(2,-2,0), v2=(6,1,4), v3=(2,0,-4). Preciso determinar o subespaço do R3 gerado por eles. Eu fiz: (x,y,z)= (2a+6b+2c, -2a+1b, 4b-4c) a partir daí, não sei o que fazer. Vejo que tem gente que escalona e gente que resolve por sistemas. Como sei qual é o ideal? E como ficaria a resposta? Obrigada
Foto de Laura G.
Laura perguntou há 10 anos

Sabe a resposta?

Ganhe 10 pts por resposta de qualidade
Responder dúvida
1 resposta
0
votos
Nenhum usuário votou nessa resposta como útil.
Professora Aruana C.
Respondeu há 10 anos
Melhor resposta
Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Oi, Laura. Não tem uma forma ideal, depende de como você está mais acostumada a fazer. Quem exercita bastante já consegue bater o olho e ver se fica mais rápido por sistema ou escalonando. Pra mim dá no mesmo, as coisas que você vai fazer na matriz (somar linhas, multiplicar por -1, -2, etc) você também faz no sistema... Bom, vejamos aí esse caso. O objetivo é colocar cada escalar a , b e c como função de x, y e z. Então você escreve:

2a +  6b + 2c  = x
-2a   + b         = y
         4b   -4c   = z
De cara você vê que 2a e -2a podem se cancelar numa soma de linhas. Procurando um pouco mais, você vê que o 2c(1ª equação) pode se cancelar com o -4c (3ª equação) se você dividir a 3ª equação por 2. Então fica:

2a  + 6b  + 2c  = x
-2a + b           = y
        2b  - 2c  = z/2

Somando as três equações, a e c vão ser cancelados e conseguimos isolar o b:

9b = x + y + z/2 --> b = x/9 + y/9 + z/18

Beleza, já temos b em função de x, y e z, agora só faltam a e c. Pegando a 2ª equação - que é mais simples - e substituindo o valor de b, temos:
-2a + b = y
-2a = y - b
-2a = y - (x/9 + y/9 + z/18)
-2a = -x/9 + 8y/9 - z/18
a = x/18 - 8y/18 + z/36 --> a = x/18 - 4y/9 + z/36    ***editando aqui porque eu tinha esquecido do sinal negativo de -2****

Agora você pode pegar outra equação (a 3ª, por exemplo) para encontrar o valor de c em função de x, y e z:

4b - 4c = z
4c = 4b - z
c = b - z/4
c = x/9 + y/9 + z/18 - z/4
c = x/9 + y/9 - 7z/36

Logo, o subespaço S gerado pelos vetores v1, v2 e v3 é:

S = { (x/18 - 4y/9 + z/36)v1 +( x/9 + y/9 + z/18)v2 + (x/9 + y/9 - 7z/36)v3}

Você ainda pode escrever isso de maneira mais "elegante", colocando termos comuns em evidencia. ;-)
Espero ter ajudado!

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Professores particulares de Matemática

+ Ver todos
Encontre professor particular para te ajudar nos estudos
R$ 85 / h
Aruana C.
Rio de Janeiro / RJ
Aruana C.
5,0 (1 avaliação)
Álgebra Linear Matemática para Concursos Matemática para Ensino Médio
Curso Técnico: Eletrônica (CEFET-PA)
Venha fazer aulas de Matemática, Física, Cálculo
R$ 80 / h
Marcos T.
Iguaba Grande / RJ
Marcos T.
5,0 (82 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 819 horas de aula
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Matemática para 4ª série Matemática para Ensino Fundamental Progressão Geométrica (PG)
Graduação: Engenharia Civil (UNIESP)
Mais de 2000 horas de aulas on-line ministradas. Inúmeras aprovações em concursos militares e vestibulares. Meu objetivo é seu entendimento.
R$ 55 / h
Marcos F.
Rio de Janeiro / RJ
Marcos F.
4,9 (1.326 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 1.676 horas de aula
Tarefas resolvidas 1.570 tarefas resolvidas
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Álgebra Funções Aritmética
Graduação: Intercâmbio Internacional e Graduação Sanduíche (Miami University)
Professor de matemática, física e química com 10 anos de experiência! Vem aprender comigo!
Envie uma tarefa, lista de exercícios, atividade ou projeto
  • Você define o prazo
  • Professores fazem propostas e você escolhe o melhor
  • Interação com o professor por chat
  • Se não gostar da resolução, reembolsamos
Enviar Tarefa

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Encontre um professor e combine aulas particulares Presenciais ou Online