Olá, minha dúvida é o seguinte: Preciso provar que W={(x, y, z) (pertence) R3 : 2x - y + z = 0} é um subespaço de R3. Na primeira regra de vetor nulo eu consegui, mas estou com dificuldade na segunda e terceira regra. Como ficaria?
Olá novamente, Matheus.
Bem, agora vamos resolver esse problema!
( I ) Primeiro vamos provar que o vetor nulo está em W. Nesse caso, estamos considerando o vetor nulo (0, 0, 0).
Como você já realizou esse passo, vamos pular para o próximo.
( II ) Vamos provar que, se u e v estão em W (ou seja, as coordenadas de u e v satisfazem a equação 2x-y+z=0), então
u+v também está em W.
Sejam u=(a, b, c) e v=(d, e, f). Portanto, u+v=(a+d, b+e, c+f) (a, b, c, d, e, f são todos números reais). Se esse vetor
u+v está em W, então ele satisfaz a condição dada acima (2x-y+z=0).
Vamos ver se isso é verdade: 2x-y+z=2(a+d)-(b+e)+(c+f)=2a+2d-b-e+c+f=[2a-b+c]+[2d-e+f]
Ora, então chegamos exatamente onde queríamos, pois 2a-b+c=0 e 2d-e+f=0 também.
Portanto, essa propriedade é verdadeira.
( III ) Por último: se u está em W, então yu também está em W (nesse caso, y é uma constante real).
Novamente, seja u=(a, b, c). Então yu=(ya, yb, yc).
Vamos ver se esse novo vetor satisfaz a condição inicial: 2x-y+z=2ya-yb+yc=y(2a-b+c).
Novamente temos o que queremos, pois sabemos que 2a-b+c=0.
Pronto! Está provado que W é um subespaço vetorial do R3.
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