Vetor ortogonal

Professor Samuel S.

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Respondeu há 11 meses

Para encontrar dois vetores não nulos, v e w, em R^3 que sejam ortogonais entre si e ortogonais ao vetor u = (1, 1, 1), podemos utilizar o método de produto vetorial.

O produto vetorial de dois vetores, v e w, em R^3 é um vetor perpendicular a ambos v e w. Portanto, se encontrarmos um vetor v que seja ortogonal a u = (1, 1, 1), o produto vetorial entre v e u será um vetor w que será ortogonal tanto a v quanto a u.

Passo 1: Encontrando um vetor ortogonal a u
Para encontrar um vetor v ortogonal a u = (1, 1, 1), podemos escolher valores arbitrários para v e, em seguida, ajustar esses valores até que v seja ortogonal a u.

Vamos escolher v = (-2, 1, 1) como sugerido na resposta.

Passo 2: Verificando se v é ortogonal a u
Para verificar se v = (-2, 1, 1) é ortogonal a u = (1, 1, 1), podemos calcular o produto escalar entre eles e verificar se o resultado é zero.

O produto escalar entre dois vetores v = (v1, v2, v3) e u = (u1, u2, u3) é dado por:

v · u = v1 * u1 + v2 * u2 + v3 * u3

Calculando o produto escalar entre v = (-2, 1, 1) e u = (1, 1, 1):

(-2 * 1) + (1 * 1) + (1 * 1) = -2 + 1 + 1 = 0

Como o resultado é zero, v = (-2, 1, 1) é ortogonal a u = (1, 1, 1).

Passo 3: Encontrando um vetor ortogonal a v e u
Agora, podemos calcular o produto vetorial entre v = (-2, 1, 1) e u = (1, 1, 1) para obter um vetor w que seja ortogonal tanto a v quanto a u.

O produto vetorial entre dois vetores v = (v1, v2, v3) e u = (u1, u2, u3) é dado por:

w = (v2 * u3 - v3 * u2, v3 * u1 - v1 * u3, v1 * u2 - v2 * u1)

Calculando o produto vetorial entre v = (-2, 1, 1) e u = (1, 1, 1):

w = (1 * 1 - 1 * 1, 1 * 1 - (-2) * 1, (-2) * 1 - 1 * 1) = (0, 3, -3)

Portanto, encontramos dois vetores v = (-2, 1, 1) e w = (0, 3, -3) que são ortogonais entre si e ortogonais ao vetor u = (1, 1, 1).

Professor Bruno D.

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Respondeu há 11 meses

Para que eles sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser nulo.



O vetor w deve ser ortogonal aos outros dois. Calculamos os produtos:


Resolvemos esse sistema indeterminado, multiplicando a equação de baixo por -1 e somando com a de cima.

Que aplicando em qualquer uma das duas equaçõs, resulta em

Que estabelece a condição de todas as coordenadas. Se escolhermos w3 = 1, teremos, w2 = -1. Isso nos dará um vetor, entre os infinitos possíveis, que será ortogonal a u e a v:

Professor Felipe A.

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Respondeu há 11 meses

Primeiro devemos descobrir se o vetor v dado é  de fato ortogonal ao vetor u, para isso fazemos o produto escalar e ele será ortogonal se o resultado for zero. OBS: Irei usar a notação com o qual eu estou mais familiarizado. 

como o produto escalar deu zero então são vetores ortogonais entre si, e para achar o terceiro vetor é só fazer o produto vetorial, mas lembre-se. dependendo da ordem em que se faz um produto vetorial o vetor resultante pode o inverso do outro.

Para fazer o produto vetorial tem uma fórmula especifica, mas como eu não lembro corretamente, eu faço por determinante, da seguinte forma

então, o vetor w é (0,-3, 3), mas observe que:

então ambos são perpendiculares à u e v.