x⁴ + 1/x⁴, sendo x = 2 + √3

Para resolver a expressão $x^4+\frac{1}{x^4}$ com $x=2+\sqrt{3}$, podemos começar tentando encontrar $\frac{1}{x}$. Sabemos que:

Assim, $\frac{1}{x}$ é o conjugado racional de $x$, que é:

Para racionalizar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

O denominador é uma diferença de quadrados:

Portanto, $\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}$.

Agora podemos calcular $x^2$ e (\left(\frac{1}{x}\right)^2):

Somando essas duas expressões:

Agora vamos usar a relação para $x^4+\frac{1}{x^4}$:

Sabemos que:

Portanto:

Subtraindo 2 de ambos os lados:

Então, $x^4+\frac{1}{x^4}=194$.