Dúvida sobre a frase

Felipe, sim, correto em linguagem informal.

Opção: Você acha que devo perguntar a ela se... 

Espero tê-lo ajudado. At.te, tutor Miguel Augusto Ribeiro.

Olá, Felipe

Se você está usando de maneira informal, não existe regra, presumindo que você fale o português como nativo. Porém se você quer saber se formalmente está correta, eu diria que ficaria melhor usando o verbo DEVER ou reformulando um pouco as orações:

"Você acha que DEVO/DEVERIA perguntar a ela se a academia vai fechar?"

ou

"O que você acha: pergunto a ela se a academia vai fechar?"

Espero que eu te tenha ajudado,

Att.,

Gerson

Gramaticalmete não há problemas em sua frase. Para o uso coloquial a contrução dessa frase está ótima. 

Existem sim formas de tornar essa mesma pergunta em construções mais formais, como o uso do Deve, comentado pelo outro professor.

O uso do verbo fechar flexionado também agregaria mais formalidade em sua oração "Eu devo perguntar a ela se a academia fechará?"

Pois "vai fechar" é uma locução verbal, gramaticalmente não há nenhum problema com o uso delas, porém quando podem ser evitadas o texto fica mais formal e fluído!

Espero ter ajudado!