Vamos analisar cada expressão em termos gramaticais:
A frase pode ser considerada correta em contextos informais; no entanto, pode ser mais clara se mais completa. Caso o contexto permita, uma forma mais completa seria: "Eu corto cabelo e também pinto."
"Eu corto cabelos":
A frase está correta. "Corto cabelos" refere-se à atividade geral de cortar cabelos, podendo ser usada, por exemplo, por cabeleireiros falando sobre seu trabalho.
"Vou cortar meus cabelos":
A frase está gramaticalmente correta. O uso de "meus" é adequado para indicar posse.
"Venha cortar seu cabelo com o Davi de Corte":
Todas as frases estão adequadas aos seus respectivos contextos de uso.