Nicoli,
me - objeto indireto de dar: dei a mim. Dei a quem? A mim. Dei o quê? conta de que...
Como se sabe, o verbo dar é bitransitivo (transitivo direto e indireto ao mesmo tempo), pedindo objeto direto para coisa e objeto indireto para pessoa: quem dá, dá alguma coisa a alguém.
...de que me tornaria marinheiro - Oração subordinada substantiva completiva nominal (completa o sentido do nome conta). Dei-me conta disto. O "disto" sintetiza a oração subordinada substantiva.
Nicoli, veja:
e dei-me conta de que me tornaria marinheiro. - pronome reflexivo "se" tem a função de objeto indireto nesta oração: dei conta a mim;
Or. principal: e dei-me conta
Or. sub. subst. completiva nominal: dar-se conta de quê? "de que me tornaria...". - completa o nome "conta" e é introduzida por preposição, "de".
Espero tê-la ajudado. At.te, tutor Miguel Augusto Ribeiro.
O Prof. Miguel respondeu de forma completa à sua dúvida.