O verbo "ter", conjugado nesta frase na forma "tinha", é um verbo transitivo direto. Quem tinha, tinha alguma coisa. A resposta para esta pergunta é objeto direto: o que fazer. Portanto, o termo "o" faz parte do objeto direto. Eis a sua função sintática. Tenho uma playlist no meu canal do YouTube só com teoria e exercícios de sintaxe. Link:
https://www.youtube.com/watch?v=54_bqlFHvnU&list=PLYEdo1cTYKpWTkt_SLs5UqmgRu1cH159e
Complementando a resposta do professor Cristiano, este "o" é um pronome que, na frase, estaria no lugar de um substantivo: não tinha coisa para fazer, não tinha algo para fazer, não tinha trabalho para fazer.
Alexandre, Boa noite!
Na frase, o segundo "O" tem o valor morfológico de pronome substantivo demonstrativo e valor sintático de objeto direto, pois completa a transitividade do verbo TER (verbo transitivo direto). O período é composto por três orações: "Quem inventou o trabalho + não tinha o + que fazer".
Espero ter ajudado!
Aquele abraço!
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