Determine para que valores de “x” a função h(x) = √2x 2 −

Para que a função $h(x)=\sqrt{2x^2-12x+10}$ represente números reais, é necessário que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Assim, precisamos resolver a desigualdade:

Vamos resolver essa inequação quadrática:

1. Encontrar as raízes da equação associada: Primeiro, resolvemos a equação quadrática $2x^2-12x+10=0$.

2. Usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes:

onde $a=2$, $b=-12$, $c=10$.

• Calculando o discriminante ($\Delta$):

• Então, calculamos as raízes:

• As raízes são:

1. Testar os intervalos: As raízes dividem a reta real em intervalos: ( (-\infty, 1) ), $[1,5]$, e ( (5, \infty) ).

2. Vamos testar cada intervalo para determinar onde a expressão é positiva.

3. Analisar o sinal em cada intervalo:

4. Para $x<1$, por exemplo, $x=0$: $$2(0{)}^2-12(0)+10=10\ge 0$$

5. Para $1<x<5$, por exemplo, $x=3$: $$2(3{)}^2-12(3)+10=18-36+10=-8$$ (não satisfaz)

6. Para $x>5$, por exemplo, $x=6$: $$2(6{)}^2-12(6)+10=72-72+10=10\ge 0$$

7. Conclusão: Os valores de $x$ para os quais a expressão dentro da raiz é não-negativa são $x\le 1$ ou $x\ge 5$. Por isso, a função $h(x)$ representa números reais quando $x\in (-\infty ,1]\cup [5,\infty )$.