Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 24 quando

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema Chinês dos Restos (ou Teorema Chinês do Resto), que nos ajuda a encontrar um número que satisfaça um sistema de congruências.

Precisamos encontrar o menor inteiro positivo $x$ que satisfaz o seguinte sistema:

Primeiro, observamos que para aplicar este teorema, os módulos (57, 106 e 159) devem ser coprimos dois a dois. Calculamos os mdc para verificar a condição:

• $\text{mdc}(57,106)$: Como nenhum dos dois números possui fator comum (fatoração em primos: $57=3\times 19$, $106=2\times 53$), eles são coprimos.
• $\text{mdc}(57,159)$: Ambos têm o fator comum 3 (159 = $3\times 53$), não são coprimos.
• $\text{mdc}(106,159)$: Nenhum fator comum (159 já era fatorado e não possui fator 53), eles são coprimos.

Houve um problema já que $57$ e $159$ não são coprimos. Neste cenário, você precisa calcular uma solução única ou verificar a viabilidade de solução do sistema sob regras de números não coprimos.

Entretanto, devido a esse entrave, precisamos olhar as condições: É importante reavaliar a compatibilidade do sistema verificando a consistência das congruências inicialmente dadas, ou seja, possíveis simplificações que eliminem fatores comuns que não afetam o resultado pretendido se houver possibilidade de tal simplificação. Caso contrário, ajustes no contexto da questão podem tornar os módulos compatíveis.

Como resolver no passo prático: No lugar de proceder com essa base não suficiente como está, considere: - Simplificação ou modulação dos valores prévios, - Possíveis reavaliações de entradas (compatibilização).

Mas lembre que o sucesso depende das revisões dos contextos e relações dadas, que podem facilitar uma resolução mais simplificada ou ajustada.