Criação novo site

Olá, Samara. Tudo bem? Pelo que entendi vc já iniciou a criação do novo site na sua hospedagem... se o cliente deseja manter a hospedagem dele, o melhor seria vc finalizar a criação do site na sua para que o site atual continue funcionando enquanto vc finaliza. Quando vc concluir vc pode exportar o site usando o plugin All in One Wp Migration... com ele vc exporta todo site incluindo conteúdo e plugins. Na hospedagem do cliente, quando for publicar, vc pode instalar o WordPress, e instalar o mesmo plugin... após isso vc vai acessá-lo e importar o backup que fez da sua hospedagem. Espero ter ajudado ;) 

Existe algumas formas de você migrar um site Wordpress de uma hospedagem para outra, você pode fazer uma cópia da base de dados e das páginas e fazer upload para nova conta de hospedagem importando a base de dados, copiando as páginas e configurando o wp-config.php com os dados de usuário e senha da base migrada. Outra forma, caso seja uma hospedagem com Cpanel é fazer uma copia integral e restaurar pelo Cpanel da nova hospedagem. Ainda existem plugins que fazem essa tarefa como exemplo o Duplicator. De qualquer forma entendo que o melhor é você estudar bem uma dessas formas para não cometer erros e sempre fazer uma cópia das páginas e base de dados antes.

Olá Samara, tudo bem? Pelo que pude entender você está em dúvida se faz no seu servidor e depois transfere ou se faz direto no do cliente, certo? Se for isso eu sugiro que: 1. se não tiver muita experiência com programação que faça direto no servidor do cliente; 2. se domina bem backup de banco de dados e configurações dos sites, pode fazer no seu e entregar tudo de uma vez. Importante nessa decisão é saber se o cliente pode ficar com o site dele atual fora do ar por algum tempo (caso vá fazer direto no servidor dele). Sugiro que enquanto faz use uma página de manutenção para os clientes não "assustarem". Qualquer dúvida pode agendar uma aula grauita comigo que te auxilio. Sucesso.