Solução de Problemas de Engenharia com MatLab

Existem diversos métodos para solucionar sistemas de equações, mas eles envolvem operações demoradas com grande oportunidade de erro. Uma equação linear com 2 variáveis, semelhante a 5x - y = 4, que define uma linha reta que pode ser reescrita na forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Assim, podemos reescrevê-la da seguinte forma y = 5x - 4. Se tivermos 2 equações lineares, elas podem representar:

• duas retas distintas que se interceptam em um mesmo ponto;
• duas retas paralelas que nunca se interceptam; ou 
• representam a mesma reta. 

Equações que representam duas retas que se interceptam podem ser facilmente identificadas porque possuem diferentes coeficientes angulares.
Exemplo: y = 2x -3 ; y = -x +3;

Equações que representam duas retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes.
Exemplo: y = 2x - 3 ; y = 2x + 1;

Equações que representam a mesma reta são equações com mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear.
Exemplo: y = 2x - 3 ; 3y = 6x - 9;

Se a equação linear contém 3 variáveis x, y, z então ela representa um plano em espaço tridimensional. Em muitos sistemas de engenharia estamos interessados em determinar se existe uma solução
comum para sistemas de equações. Vamos discutir dois métodos para solução de sistemas de equação usando MATLAB.

Vamos considerar como exemplo o seguinte sistema de equações:

3x + 2y - z = 10

-x + 3y + 2z = 5

x - y - z = -1

Para resolvermos o sistema acima utilizando o Matlab precisamos reescrever de uma forma que o software entenda. Desta forma, como o próprio método sugere iremos escrever o sistema em forma de matriz. Assim teremos sistema linear do tipo Ax=b. Neste caso a matriz A será composta dos coeficientes, a matriz x será composta pelas variáveis do sistema e por fim a matriz b será composta pelo vetor solução do sistema.

A = [3 2 -1;-1 3 2;1 -1 -1];

x = [x;y;z];

b = [10;5;-1];

Aqui iremos apresentar a solução pelo método da Regra de Cramer, entretanto existem outros métodos que podem ser aplicados tais como Eliminação Gaussiana, Método de Gauss-Jordan e Método de Gauss-Seidel, por exemplo.

# Regra de Cramer

A Regra de Cramer consiste em se calcular o determinante da matriz de coeficientes bem como o determinante das submatrizes geradas pela combinação da matriz de coeficientes e o vetor solução. A matriz A1 possui a primeira coluna da matriz A substituída pelo vetor solução b, o mesmo procedimento se aplica as demais colunas da matriz, gerando desta forma as submatrizes.

A1 = [10 2 -1;5 3 2;-1 -1 -1];

A2 = [3 10 -1;-1 5 2;1 -1 -1];

A3 = [3 2 10;-1 3 5;1 -1 -1];

O matlab possui a função para o cálculo de detrminante pré-definida, assim basta "chamar" tal função. Neste caso determinante = det. Logo, o determinante da matriz de coeficientes e das submatrizes será calculado automaticamente da seguinte forma:

det_A   = det (A);

det_A1 = det (A1);

det_A2 = det (A2);

det_A3 = det (A3);

Por fim, para obtermos a solução do nosso sistema de equações devemos determinar o valor das variáveis que solucionam o problema. Para isso, basta que dividamos o valor do determinante das submatrizes pelo determinante da matriz de coeficientes da seguinte forma:

x = det_A1/det_A

y = det_A2/det_A

z = det_A3/det_A

Perceba que mesmo que seja aplicado qualquer um dos outros métodos de resolução a resposta será a mesma. Cabe a nós decidirmos qual o melhor método a ser aplicado ao nosso problema.

Obrigada pela leitura!

Fonte: MONTEIRO, M. T. T.; MORAIS, S. T. M. N.; Métodos numéricos: Exercícios resolvidos aplicados à Engenharia e outras ciências. Universidade do Minho, 2012.